Równania macierzowe.
: 7 lis 2011, o 19:04
Mam pewien dylemat jeśli chodzi o rozwiązywanie równań macierzowych. Przedstawię na przykładzie:
A, B,C - podane macierze kwadratowe
X - niewiadoma
\(\displaystyle{ A \cdot X \cdot B=C}\)
Mnożenie macierzy nie jest przemienne, więc mnożąc lewostronnie przez macierz odwrotną \(\displaystyle{ A ^{-1}}\) lub \(\displaystyle{ B ^{-1}}\) otrzymam inny wynik. Poniżej rozpisałem jedną z możliwości - najpierw pozbywam się \(\displaystyle{ A}\) lewostronnie, potem \(\displaystyle{ B}\) prawostronnie:
\(\displaystyle{ A \cdot X \cdot B=C}\)
\(\displaystyle{ A^{-1} \cdot (A \cdot X \cdot B)= A^{-1} \cdot C}\)
\(\displaystyle{ ( A^{-1} \cdot A) \cdot X \cdot B=A^{-1} \cdot C}\)
\(\displaystyle{ X \cdot (B \cdot B^{-1})=(A^{-1} \cdot C) \cdot B^{-1}}\)
\(\displaystyle{ X=(A^{-1} \cdot C) \cdot B^{-1}}\)
Tu pojawia się mój dylemat - jeśli można działać w ten sposób to niewiadoma \(\displaystyle{ X}\) będzie mieć osiem rozwiązań (pozbywam się niewiadomych lewostronnie, prawostronnie; lewostronnie, lewostronnie; prawostronnie, lewostronnie; prawostronnie, prawostronnie; i taki zestaw w dwóch przypadkach najpierw \(\displaystyle{ A}\) później \(\displaystyle{ B}\) i odwrotnie).
Czy powyższe rozumowanie jest prawidłowe? Jeśli nie proszę o wytłumaczenie mi tego w możliwie prosty sposób.
Pozdrawiam.
A, B,C - podane macierze kwadratowe
X - niewiadoma
\(\displaystyle{ A \cdot X \cdot B=C}\)
Mnożenie macierzy nie jest przemienne, więc mnożąc lewostronnie przez macierz odwrotną \(\displaystyle{ A ^{-1}}\) lub \(\displaystyle{ B ^{-1}}\) otrzymam inny wynik. Poniżej rozpisałem jedną z możliwości - najpierw pozbywam się \(\displaystyle{ A}\) lewostronnie, potem \(\displaystyle{ B}\) prawostronnie:
\(\displaystyle{ A \cdot X \cdot B=C}\)
\(\displaystyle{ A^{-1} \cdot (A \cdot X \cdot B)= A^{-1} \cdot C}\)
\(\displaystyle{ ( A^{-1} \cdot A) \cdot X \cdot B=A^{-1} \cdot C}\)
\(\displaystyle{ X \cdot (B \cdot B^{-1})=(A^{-1} \cdot C) \cdot B^{-1}}\)
\(\displaystyle{ X=(A^{-1} \cdot C) \cdot B^{-1}}\)
Tu pojawia się mój dylemat - jeśli można działać w ten sposób to niewiadoma \(\displaystyle{ X}\) będzie mieć osiem rozwiązań (pozbywam się niewiadomych lewostronnie, prawostronnie; lewostronnie, lewostronnie; prawostronnie, lewostronnie; prawostronnie, prawostronnie; i taki zestaw w dwóch przypadkach najpierw \(\displaystyle{ A}\) później \(\displaystyle{ B}\) i odwrotnie).
Czy powyższe rozumowanie jest prawidłowe? Jeśli nie proszę o wytłumaczenie mi tego w możliwie prosty sposób.
Pozdrawiam.