Matematyka.pl

Zostało mi jedno zadanie z kombinatoryki. Niestety nie udaje mi się , nie mam pomysłu nawet jak zrobić te podpunkty. Udało mi się tylko podpunkt a , bo jest prosty. W reszcie się gubię. Byłabym wdzięczna za pomoc.

W sali ustawiono cztery dwuosobowe ławki szkole. Miejsca w tych ławkach przydzielamy sześciu osobom - 2 dziewczynkom oraz 4 chłopcom

a) Na ile różnych sposobów można przydzielić miejsca tym sześciu osobom ?

b) Na ile różnych sposobów można przydzielić miejsca tym sześciu osobom tak , aby dziewczęta siedziały w jednej ławce ?

c) Na ile różnych sposobów można przydzielić miejsca tak , aby dziewczynki nie siedziały razem ?

d) Na ile różnych sposobów można przydzielić miejsca tak , aby każda dziewczynka siedziała z chłopcem i nikt nie siedział sam ?

Podpowiem pierwsze rozwiązanie: Masz 6 osób, przydzielasz jedną osobę do 8 możlwych miejsc, potem kolejną do 7-dmiu możliwych i kończysz na przydzieleniu ostatniej (6-tej) osoby do jeszcze 3 możliwych miejsc na których może zasiąść. A więc moc kombinacji wygląda tak:
\(\displaystyle{ 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 20 160}\)
Czy zauważasz jakąś prawidłowość? Ja tak.
Przedstawię to w postaci:
\(\displaystyle{ \frac{8!}{(8-6)!}}\)
Jeżeli nie masz pojęcia jak to rozwiązać, dlaczego tak jest - będziemy próbować dalej.

ten pierwszy podpunkt mam zrobiony z tym sobie poradziłam. nie potrafię zrobić b , c ,d

b) Dziewczynę sadzasz w dowolnej ławce (czyli 8 możliwości) potem drugą w tej samej (czyli już tylko 1), resztę miejsc w sposób z poprzedniego podpunktu, czyli
\(\displaystyle{ \frac{6!}{(6-4)!}}\)
Co daje nam:
\(\displaystyle{ 8*\frac{6!}{(6-4)!}=8*360=3240}\)
Błędu w obliczeniach być nie powinno.

c) Rozdzielamy miejsce dla pierwszej dziewczynki - 8 możliwości. Teraz mamy 8-2=6 mozliwości posadzenia drugiej (bo nie mozemy posadzić jej razem ani w miejscu przydzielonym dla poprzedniej dziewczynki). Resztę chłopców przydzielamy już do innych 5+1 miejsc (bo możemy posadzić ich w wolnym miejscu w ławce obok pierwszej dziewczynki), wówczas:
\(\displaystyle{ 8*6*\frac{6!}{(6-4)!}=48*360=1720}\)

d)Ostatni podpunkt spróbuj rozwiązać sama, zadanie analogiczne do poprzednich (sadzasz dziewczynke, sadzasz chłopca i tak dalej). Niech ktoś sprawdzi te założenia, ale raczej powinno być ok.