Matematyka.pl

Bardzo proszę o rozkminienie tych zadań. od tego zależy moje zaliczenie, niestety.

Zad 1
Z jaką podprzestrzenią przestrzeni R^3 homeomorficzny jest produkt przestrzeni
S^1 i R ?
Wskazać przykład podprzestrzeni przestrzeni R^2 homeomorficznej z tym produktem.

Zad 2
Z jaką podprzestrzenią przestrzeni R^3 homeomorficzna jest przestrzeń S^1 x S^1 ?


Bardzo proszę o dokładny opis.

Zad 1
\(\displaystyle{ S^1 \mathbb{R}}\) to jest walec, np. \(\displaystyle{ \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x^2+y^2=1,\}}\). \(\displaystyle{ S^1}\) to okrąg, a \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) to prosta. Wyobraź sobie, że mamy okrąg leżący poziomo i z każdego punktu wypuszczamy prostą.
Zauważ że prosta jest homeomorficzna z odcinkiem otwartym (np. homeomorfizmem jest tg). więc można wziąć, krótki otwarty walec \(\displaystyle{ S^1 (0, 1)}\), a taki walec "mieści" się na płaszczyźnie jako "pierścień", np. \(\displaystyle{ \{(x,y)\in\mathbb{R}^2:1/2}\)