Matematyka.pl

Proszę o podpowiedź do 2 pierwszych i raczej o rozwiazania krok po kroku 2 ostatnich bo nie wiem co i jak.

1. Zbadać zbieżność \(\displaystyle{ \sum_{n \ge 1}^{} \frac{n^{10}}{ \pi ^n}}\)

Chyba z Cauchy'ego ale cos nie moge sobie poradzic

2. Dla dowolnego x rzeczywistego obliczyć \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{x^n}{n!}}\)

3. Ustalmy liczbę \(\displaystyle{ a>0}\). Niech \(\displaystyle{ x_{0}=a}\) oraz \(\displaystyle{ x_{n+1}= \frac{1}{2}(x_{n}+ \frac{a}{x_{n}})}\). Pokaż, że \(\displaystyle{ \lim_{ \to }_{n}x _{n}= \sqrt{a}}\). Zastosuj ten wynik dla \(\displaystyle{ a=2}\). Który wyraz tak zbudowanego ciągu różni się od \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) o mniej niż \(\displaystyle{ 10^{-3}}\)?

4. Niech \(\displaystyle{ a_{0}=1}\) oraz \(\displaystyle{ a_{n+1}= \frac{1}{2}(a_{n}+4)}\). Pokaż, że ciąg \(\displaystyle{ a_{n}}\) jest rosnący i ograniczony oraz znajdź jego granicę.

1.) zastosuj kryterium Cauchyego, innej rady nie ma przeciez pierwiastek n tego stopnia z
n^10 jest rowny 1.
2.) sprawdz co sie dzieje dla x=n-1, x=n, x=n+1

zdzicho0 pisze: 2. Dla dowolnego x rzeczywistego obliczyć \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{x^n}{n!}}\)

można tak rozumować:z kryterium d'Alamberta szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{x^n}{n!}}\)
jest zbieżny dla wszystkich iksów, więc z warunku koniecznego zbieżności szeregów jego wyraz dąży do zera.

Ok, dzieki, juz wszystko wiem. Moglby mi ktos tylko jeszcze powiedziec jak w 4 sprawdzic czy jest ograniczony ?

Można na przykład znaleźć jawną formułę tego ciągu.

A bez tego?
1. \(\displaystyle{ a_0 = 1 \le 4}\)
2.
Niech \(\displaystyle{ a_n \le 4}\). Wtedy:
\(\displaystyle{ a_{n+1} = \frac{a_n + 4}{2} \le \frac{4 + 4}{2} = 4 \le 4}\)
3.
Z 1., 2. i twierdzenia o indukcji matematycznej wynika, że \(\displaystyle{ \bigwedge_{n\in\mathbb{N}} a_n \le 4}\) - jest więc ograniczony.