Matematyka.pl

Grupa nie może byc sumą dwóch swoich podgrup- udowodnic dlaczego

chodzi o sumę mnogościową czy sumę prostą? Bo jeśli potraktujemy grupy jako zbiory i je dodamy do siebie, to twierdzenie to nie jest prawdziwe. Np sama grupa G jest swoją własną podgrupą więc jeśli za podgrupy weźmiemy całe grupy G to ich suma mnogościowa też jest równa G, i jest też grupą.

mówimy tutaj o grupach właściwych, czyli takich które nie są całą grupą , ani nie składaja się tylko z elementu neutralnego dla działania w danej grupie.

Pytanie jest takie : Czy suma dwóch podgrup właściwych może tworzyć grupę.
Odpowiedź to NIE, ale chodzi tutaj o dowód tego faktu.

Przypuśćmy, że istnieją takie podgrupy H i F, że \(\displaystyle{ H\cup F=G}\).
Jeżeli \(\displaystyle{ H\subset F}\) lub \(\displaystyle{ F\subset H}\), to teza jest oczywista.
Jeśli istnieją takie elementy a, b należące do G, takie, że \(\displaystyle{ a\in H\setminus F}\) oraz \(\displaystyle{ b\in F\setminus H}\), to rozpatrujemy element \(\displaystyle{ c=ab}\).
Jeżeli \(\displaystyle{ c\in F a=cb^{-1}\in F}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ c\in H b=a^{-1}c\in H}\)
Co prowadzi do sprzeczności.