Matematyka.pl

Wyznaczyć granicę:
\(\displaystyle{ \lim _{x\to 0} \left( \sin \left( x \right) + \cos \left( x \right) \right) ^{ \frac{1}{x} }}\)

Rozwiązując to, podstawiłam sobie, że \(\displaystyle{ \cos 0 =1}\) i wtedy z prostego wzoru na e ładnie wychodzi, ale podobno nie można sobie tak "rozczłonkowywać", jeśli już podstawiam \(\displaystyle{ x _{0}}\) to wszędzie. Proszę o pomoc, bo innych pomysłów brak.

Masz tutaj symbol nieoznaczony, więc możesz skorzystać z reguły de l'Hospitala.

Lbubsazob pisze:z reguły de l'Hospitala.

Nie mogę, ponieważ jeszcze tak jakby jej nie znam.
Muszę pójść inną drogą.

\(\displaystyle{ (\sin x+\cos x)^\frac{1}{x}=[\cos x (\tg x+1)]^\frac{1}{x}=(\cos x)^\frac{1}{x}(1+\tg x)^\frac{1}{x}}\)

Ewentualnie
\(\displaystyle{ \sin x+\cos x=1+\sin x-2\sin^2 \frac{x}{2}}\)