Matematyka.pl

Rozwinąć funkcję w szereg maclaurina:

\(\displaystyle{ f(x)=\int_{0}^{x}\cos \sqrt{x} dx}\)

Nie wiem jak się zabrać za to zadanie liczenie kolejnych pochodnych jest dość żmudne a znalezienie zależności między nimi jakoś mi nie wychodzi.
Prosze o pomoc.

Skorzystaj z rozwinięcia cosx w szereg Maclaurina \(\displaystyle{ cos(t) = \sum\nolimits_{n = 0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} t^{2n}}\).

\(\displaystyle{ \int\limits_0^x cos(\sqrt{t})dt = \int\limits_0^x \sum\nolimits_{n = 0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} \sqrt{t}^{2n}dt}\).

Dalej chyba już łatwo (całkuj wyraz po wyrazie)?. Głowy za to rozwiązanie nie daje, ale nad identycznym zadaniem głowiliśmy się ostatnio na uczelni i takie rozwiązanie było "najpopularniejsze" .

To ja mam jeszcze pytanko odnośnie innego rozwiniecia:

\(\displaystyle{ f(x)=\frac{x}{x^{2}-5x+6}}\)

Próbowalem to zrobic zapisuajc to w postaci

\(\displaystyle{ f(x)=\frac{x}{x^{2}-5x+6}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...}\), nastepnie mnozymy obie strony przez mianownki, porzadkujemy i probujemy wyciagnac z tego wzór... tyle, ze jakos to mi nie idze dochode do momentu gdzie \(\displaystyle{ a_{n}=\frac{z}{6^{n}}}\) a z to kolejno (dla n=0,1,2,3,4...): 0,1,5,19,65... i jakos nie moge znalezc formuły na tego wlasnie z... jest ktos w stanie pomóc (oczywisice jezeli robilem zadanie od poczatku zle to bede wdzięczny jeżeli ktoś je zrobi dobrze).

A nie jest to przypadkiem źle napisane zadania z zestawu dodatkowego dla elektroniki na PW? :> Tylko tam jest \(\displaystyle{ \frac{x}{x^2 - 5x + 6}}\). A to się rozwija najpierw rozbijając na ułamki proste, a potem każdy składnik oddzielnie na ciąg geometryczny.

Rozwinięcie będzie prawdziwe dla iloczynu warunków obu rozwinięć.

Faktycznie mój bład... juz poprawilem... a co do rozwiazania - dzieki za podpowiedz spróbue tym sposobem i zobcze co wyjdzie.

EDIT:
Zrobilem tym sposobem i wyszło.. konkretniej wychodzi \(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{\infty}\frac{3^{n}-2^{n}}{6^{n}}x^{n}}\) i jak sie podstawia kolejne n to wychodzi to co powinno.