Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}}{1+x\sqrt{x}}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to0}\frac{1 - cosx}{x^{2}}}\)

z góry dziekuję, mam takie zadania ale niestety ich za bardzo nie rozumie

młody pisze:\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}}{1+x\sqrt{x}}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}}{1+x\sqrt{x}}=\infty}\)

Lady Tilly pisze:

młody pisze:\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}}{1+x\sqrt{x}}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to0}\frac{x^{2}}{1+x\sqrt{x}}=\infty}\)

x dąży do zera

1) Nie bardzo wiadomo o co Ci w końcu chodzi
Jeżeli jednak \(\displaystyle{ x\to 0}\).
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{x^{2}}{1+x\sqrt{x}} = 0}\)

2) Reguła de L'Hospital-a.
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} \stackrel{[H]}{=} \lim_{x\to 0} \frac{sinx}{2x} \stackrel{[H]}{=} \lim_{x\to 0} \frac{\cos x}{2} = \frac{1}{2}}\)

935b5c2e1fddb87e5fdaabb603a30d6a.gif

[ Dodano: 23 Styczeń 2007, 18:08 ]
w pierwszym przypadku x daży do nieskończonosci

w pierwszym przypadku x daży do nieskończonosci

Czyli będzie tak jak napisała Lady Tilly
\(\displaystyle{ \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{x^{2}}{1 + x\sqrt{x}} = \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x}}{\frac{1}{x\sqrt{x}} + 1} = \left[\frac{+\infty}{0 + 1}\right] = +\infty}\)

2.
\(\displaystyle{ \lim\limits_{x \to 0}\frac{1 - \cos x}{x^{2}} = \lim\limits_{x \to 0}\frac{1 - 1 + 2\sin^{2} \frac{x}{2}}{4\left(\frac{x}{2}\right)^{2}} = \lim\limits_{x \to 0}\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\cdot\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right) = \frac{1}{2}}\)