Zadania które sprawiły mi problem

[wardinho]

Witam!
Uczę sie aktualnie do kolosa i te zadania sprawily mi problem.
1. wykazac ze granica ciagu -n [2+(-1)^n] wynosi nieskonczonosc
2. niech an= 2n/n^3 +1 korzystajac z tw o 3 ciagach udowodnic ze liman=0 oszacowac liczbe n0nalezaca do N taka ze dla kazdego n>n0 an

[max]

1.
\(\displaystyle{ -n(2 + (-1)^{n}) \leq -n(2 - 1) = -n}\)
\(\displaystyle{ \lim\limits_{n \to \infty} (-n) = -\infty}\)


2. Dla \(\displaystyle{ n > 1}\)
\(\displaystyle{ \frac{2n}{n^{4}} = \frac{2}{n^{3}} < \frac{2n}{n^{3} + 1} < \frac{2n}{n^{3}} = \frac{2}{n^{2}}}\)


3.Niewprost:

Jeśli
\(\displaystyle{ \sup\{a_{n}\} < \lim\limits_{n \to \infty} a_{n}}\),
to gdy przyjmiemy
\(\displaystyle{ \varepsilon = \lim\limits_{n \to \infty} a_{n} - \sup\{a_{n}\}}\)
to w otoczeniu o promieniu
\(\displaystyle{ \varepsilon}\)
punktu
\(\displaystyle{ \lim\limits_{n \to \infty} a_{n}}\)
nie znajduje się żaden z wyrazów tego ciągu, co jest sprzeczne z definicją granicy ciągu.

Jeśli
\(\displaystyle{ \sup\{a_{n}\} > \lim\limits_{n \to \infty} a_{n}}\),
to z definicji kresu górnego (i ponieważ ciąg \(\displaystyle{ \{a_{n}\}}\) jest niemalejący) istnieje taka liczba
\(\displaystyle{ n_{0}}\),
że dla każdego
\(\displaystyle{ n > n_{0}}\)
jest
\(\displaystyle{ a_{n} \geq a_{n_{0}} > \lim\limits_{n \to } a_{n}}\)
Jeśli teraz rozpatrzymy otoczenie punktu
\(\displaystyle{ \lim\limits_{n \to } a_{n}}\)
o promieniu
\(\displaystyle{ \varepsilon = a_{n_{0}} - \lim\limits_{n \to } a_{n}}\)
to okaże się, że w tym otoczeniu znajduje się co najwyżej
\(\displaystyle{ n_{0} - 1}\)
początkowych wyrazów tego ciągu, co jest sprzeczne z definicją granicy ciągu.

Wykazaliśmy zatem, że musi być
\(\displaystyle{ \sup\{a_{n}\} = \lim\limits_{n \to } a_{n}}\)