Matematyka.pl

Cząstka porusza się wzdłuż osi x zgodnie z równaniem: \(\displaystyle{ x(t) = 30t +10t ^{2}}\), \(\displaystyle{ x}\) wyrażone jest w metrach, a \(\displaystyle{ t}\) w sekundach. Oblicz prędkość średnią w czasie pierwszych \(\displaystyle{ 3s}\) ruchu, prędkość chwilową dla \(\displaystyle{ t = 3s}\) oraz przyspieszenie chwilowe dla\(\displaystyle{ t = 3s}\).

Prędkość chwilowa: \(\displaystyle{ v(t)=x'(t)}\)

Przyspieszenie chwilowe: \(\displaystyle{ a(t)=v'(t)=x''(t)}\)

Prędkość średnia: tak jakby ruch był jednostajny: \(\displaystyle{ \frac{x(3)-x(0)}{3}}\)

mógłby mi to ktoś wytłumaczyć bo nie bardzo to rozumiem skąd się to wzięło ;/

A co tu tłumaczyć? Podaję Ci wzory, które zna mechanika. Wyprowadzenia chcesz? Z tym już odsyłam do podręczników, bo nie będę powtarzał wykładu. Jeśli Ci wystarczą wzory, musisz uwierzyć, że to, co mówię, jest prawdą. Prędkość chwilowa to pochodna drogi względem czasu, a przyspieszenie to pochodna prędkości, czyli druga pochodna drogi.

Prędkość średnią wyliczamy tak, jakby ruch odbywał się se stałą prędnością, wyliczamy więc całkowitą drogę (różnica drogi końcowej i początkowej) i dzielimy przez czas przebycia tej drogi. W ruchu jednostajnym bowiem prędkość to iloraz drogi do czasu.

To może tak:

\(\displaystyle{ V_{śr} = \frac{calkowita \ \ droga}{całkowity \ \ czas}}\)
Oblicz całkowitą drogą przebytą zgodnie z danymi, bo całkowity czas trwania ruchu masz.

Przy liczeniu prędkości i przyspieszenia chwilowych nie obędzie się bez pochodnej.

Pytanie jest o średnią prędkość, a nie o średnią wartość prędkości, więc:

\(\displaystyle{ v_{x,sr} = \frac{calkowite \ \ przemieszczenie}{całkowity \ \ czas}}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ x\left( t\right)}\) jest opisane kwadratową zależnością od czasu, to JESZCZE mozna się obejść bez pochodnych:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x(t) = 0 + 30t +10t ^{2} \\ x(t) = x\left( 0\right) + v _{x,0} t + \frac{1}{2} \cdot a _{x} t ^{2} \end{cases} \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \begin{cases} x\left( 0\right) = 0 \\ v _{x,0} = 30 \ \frac{m}{s} \\ a _{x} = 20 \ \frac{m}{s ^{2}} \end{cases}}\)

stąd mamy:

\(\displaystyle{ x(t) = 30t +10t ^{2} \ \left[ m\right]}\)

\(\displaystyle{ v _{x} (t) = 30 + 20t \ \ \left[ \frac{m}{s} \right]}\)

\(\displaystyle{ a _{x} (t) = 20 \ \frac{m}{s ^{2}}}\)

W kolejności odwrotnej:

\(\displaystyle{ a _{x} (3) = 20 \ \frac{m}{s ^{2}}}\)

\(\displaystyle{ v _{x} (3) = 30 + 20 \cdot 3 = 90 \ \ \left[ \frac{m}{s} \right]}\)

\(\displaystyle{ v _{x,sr,0-3} = \frac{x\left( 3\right) - x\left( 0\right)}{3 - 0} = \frac{30 \cdot 3 + 10 \cdot 3 ^{2}}{3} \ \left[ \frac{m}{s} \right] = 60 \ \left[ \frac{m}{s} \right]}\)

Owszem, można, gdyż ruch jest jednostajnie przyspieszony: \(\displaystyle{ x(t)=v_0t+\frac{at^2}{2}.}\) Ale w tle one i tak się pojawiają.

Dlatego zaznaczyłem słowo JESZCZE wielką literą

joe74 pisze:Pytanie jest o średnią prędkość, a nie o średnią wartość prędkości, więc:

\(\displaystyle{ v_{x,sr} = \frac{calkowite \ \ przemieszczenie}{całkowity \ \ czas}}\)

A teraz mi powiedz czymś się różni (poza semantyką) to co ja napisałem w najbardziej ogólnej postaci od tego co Ty napisałeś?

joe74 pisze: Ponieważ \(\displaystyle{ x\left( t\right)}\) jest opisane kwadratową zależnością od czasu, to JESZCZE mozna się obejść bez pochodnych:

Niby można, ale to jest na tej samej zasadzie jak szukanie ekstremum funkcji kwadratowej. Też można sobie poradzić bez pochodnej.

Ale tak swoją drogą to nie do końca rozumiem intencje autora/nauczyciela wybierające zadanie. Wrzucanie zadania zawierającego funkcję położenia \(\displaystyle{ x(t)}\) i nie stosowanie pochodnej. To trochę sztuka dla sztuki. Osoby zainteresowane fizyką i tak muszą opanować rachunek pochodnych w stopniu choćby podstawowym. Natomiast dla osób nieobeznanych z tego typu zadaniami będzie to kolejny "kosmos"

Przemieszczenie i droga to nie jest to samo. Nie mieszajmy w głowach tym, którzy dopiero są na początku nauki fizyki ( i nigdy nie wolno nazywać drogi przemieszczeniem, nawet później). Droga nigdy nie może maleć, zaś przemieszczenie może maleć, nawet do ujemnych wartości, i tak tutaj mogło być w innej sytuacji, gdyby współczynniki w równaniu były przeciwnych znaków.

Kwestia druga: wykładowcy nie mają wyjścia i są zmuszeni do dawania zadań, w których na początek przemieszczenie zależy co najwyżej od wielomianu drugiego stopnia. Jeśli jest możliwość zrobić zadania bez pochodnych, to nie mieszajmy w głowach początkującym, że trzeba koniecznie znać pochodne, żeby zrobić te zadania, skoro jest inaczej, i to wcale nie na NIBY.

Ech... NIBY masz rację, ale chyba na co dzień nie masz styczności z ciężkimi przypadkami (nie twierdzę że misiu21692 takim jest) jeśli chodzi o materię fizyki.

Mam I dlatego ważne jest każde słowo, żeby było prawidłowo użyte, bo potem taka osoba będzie popełniać błędy.

Myślę, że w kwestii pomocy autorowi tematu rzecz została wyczerpana. Dalszą dyskusję o sprawach ogólnych proponuję przenieść do działu "Dyskusje o matematyce". A tu ją zakończmy, żeby nie odbiegać od tematu.