Logarytmiczny dekrement tłumienia

Ruch drgający, wahadła i oscylatory. Ruch falowy i stowarzyszone z nim zjawiska. Zjawiska akustyczne.
freak91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 75
Rejestracja: 18 wrz 2011, o 01:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowy Sącz
Podziękował: 35 razy

Logarytmiczny dekrement tłumienia

Post autor: freak91 » 30 paź 2011, o 01:11

Polecenie:
Znaleźć logarytmiczny dekrement tłumienia wahadła matematycznego o długości d, jeśli po czasie\(\displaystyle{ \tau}\) jego energia zmniejszyła się n razy.
Nie rozumiem po co mi ten dekrement tłumienia i jak go używać. Przeczytałem na wikipedii iż jest to iloraz dwóch kolejnych amplitud w ruchu tłumionym. Będę niezwykle wdzięczny za wytłumaczenie idei.

Prawdziwy jest związek:
\(\displaystyle{ E_k=n E_o}\)

Częstość własna wahadła matematycznego:
\(\displaystyle{ \omega_0=\sqrt{\frac{g}{d}}}\)

Dla ruchu harmonicznego prawdziwa jest zależność:
\(\displaystyle{ \Lambda = \sqrt{\omega_0^2 - \frac{\Gamma^2}{4}}T_t}\)
\(\displaystyle{ T_t}\) - okres drgań tłumionych
1. Skąd mam pewność, że ruch jest harmoniczny?
2. Energię początkową policzę, jeśli znajdę maksymalną amplitudę, tą na początku, dla czestości własnej.

Znam jeszcze zależność:
\(\displaystyle{ \Lambda = \ln{\frac{A_n}{A_{n+1}}}}\)

joe74
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 727
Rejestracja: 20 wrz 2011, o 17:25
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 112 razy

Logarytmiczny dekrement tłumienia

Post autor: joe74 » 30 paź 2011, o 01:38

Logarytmiczny dekrement tłumienia \(\displaystyle{ \lambda}\):

\(\displaystyle{ \lambda = ln \frac{A\left( t\right)}{A\left( t + T\right) } = \beta T}\)

Znając logarytmiczny dekrement tłumienia, w wyniku badania kolejnych amplitud, można wyznaczyć współczynnik tłumienia \(\displaystyle{ \beta}\):

\(\displaystyle{ \beta = \frac{\lambda}{T}}\),

a stąd, znając masę m drgającego układu, można wyznaczyć wartość oporu ośrodka r:

\(\displaystyle{ \beta = \frac{r}{2m} \ \ \ \Rightarrow \ \ \ r = \beta \cdot 2m = \frac{\lambda}{T} \cdot 2m}\)

freak91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 75
Rejestracja: 18 wrz 2011, o 01:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowy Sącz
Podziękował: 35 razy

Logarytmiczny dekrement tłumienia

Post autor: freak91 » 30 paź 2011, o 11:25

Niestety, to co napisałeś nie prowadzi mnie w żaden sposób w kierunku rozwiązania - ale przynajmniej wiem po co się tego używa.

1. Przy okazji, czym jest właściwie ten ośrodek tłumienia w odniesieniu do równania ruchu tłumionego?
Czy jest to \(\displaystyle{ \beta = \Gamma}\) z równania:
\(\displaystyle{ \frac{d^2 x(t)}{dt^2}+\Gamma\frac{d x(t)}{dt} + \omega_0^2 x = 0}\)
A może?
\(\displaystyle{ \beta = \frac{\Gamma}{2}}\)

2. Wracając do zadania, którego po prostu nie ogarniam.
Poszukuje logarytmicznego dekrementu tłumienia znając czas trwania ruchu \(\displaystyle{ \tau}\) oraz wiedząc, że:
\(\displaystyle{ E_k = n E_o}\) oraz znając długość wahadła d.

\(\displaystyle{ \Lambda = \beta T}\)

Znalazłem następujący wzór na ampltudę po czasie t:
\(\displaystyle{ A(t) = A_0 e^{-\beta t}}\)
\(\displaystyle{ A(0)=A_0}\)
\(\displaystyle{ A(k)=A_0 e^{-\beta \tau}}\)

Wzór na energię:
\(\displaystyle{ E=\frac{kA^2}{2}}\)
Po podstawieniu:
\(\displaystyle{ \frac{k}{2}A_0^2 e^{-2 \Beta \tau} = n \frac{k}{2} A_0^2}\)
\(\displaystyle{ \beta = \frac{\ln{n}}{-2 \tau}}\)
3. Czy współczynnik tłumienia \(\displaystyle{ \beta}\) może być ujemny?

Wracam do głównego równania:
\(\displaystyle{ \Lambda = 2 \pi \frac{\beta}{\sqrt{\omega_0^2 - \frac{\Gamma^2}{4}}}}\)
\(\displaystyle{ \omega_0 = \frac{d}{g}}\)

4. Czy dobrze policzone \(\displaystyle{ \beta}\) oraz co zrobić z \(\displaystyle{ \Gamma}\)?

joe74
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 727
Rejestracja: 20 wrz 2011, o 17:25
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 112 razy

Logarytmiczny dekrement tłumienia

Post autor: joe74 » 31 paź 2011, o 01:42

Mam już wszystko rozpykane, teraz to co zajęło mi na kartce 3 minuty, muszę w LateX-ie wstukać pewnie z 20 minut, ale już nie dziś. Mam nadzieję, że to nic pilnego i możesz poczekać 1 - 2 dni.

Uwaga: czas au to w dganiach czas, po którym amplituda maleje e razy, więc nie możemy go tak sobie używać tego symbolu dowolnie - ja ten czas oznaczyłem sobie \(\displaystyle{ t _{1}}\).

-- 31 paź 2011, o 11:46 --

1. Ośrodkiem tłumienia jest ośrodek, w ktorym układ wykonuje drgania (powietrze, woda, olej, itp.).

Tylko \(\displaystyle{ \Gamma = 2 \beta}\).


2. Równanie

\(\displaystyle{ \frac{k}{2}A_0^2 e^{-2 \Beta t _{1}} = n \frac{k}{2} A_0^2}\)

jest złe, bo "n" powinno być po przeciwnej stronie, albo zamiast "n" musi być "1/n":


\(\displaystyle{ \frac{k}{2}A_0^2 e^{-\beta \left( t + t _{1}\right) } = \frac{1}{n} \cdot \frac{k}{2} A_0^2 \cdot e ^{- \beta t}}\)

\(\displaystyle{ A_0^2 e^{-2\beta t} \cdot e^{-2\beta t _{1}} = \frac{1}{n} A_0^2 \cdot e ^{- 2\beta t}}\)

\(\displaystyle{ A_0 e^{-\beta t} \cdot e^{-\beta t _{1}} = \frac{1}{ \sqrt{n}} A_0 \cdot e ^{- \beta t}}\)

\(\displaystyle{ e^{-\beta t _{1}} = \frac{1}{ \sqrt{n}}}\)

\(\displaystyle{ -\beta t _{1} = \ln \frac{1}{ \sqrt{n}}}\)

\(\displaystyle{ -\beta t _{1} = - \frac{1}{2} \ln n \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \beta = \frac{\ln n}{2t _{1}}}\)


3. Musi być dodatnia wartość współczynnika tłumienia \(\displaystyle{ \beta}\).


4. Logarytmiczny dekrement tłumienia \(\displaystyle{ \lambda}\):

\(\displaystyle{ \lambda = \beta \cdot T = \frac{\ln n}{2t _{1}} \cdot 2 \pi \sqrt{ \frac{d}{g} } = \frac{\ln n}{t _{1}} \cdot \pi \sqrt{ \frac{d}{g} }}\)

freak91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 75
Rejestracja: 18 wrz 2011, o 01:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowy Sącz
Podziękował: 35 razy

Logarytmiczny dekrement tłumienia

Post autor: freak91 » 31 paź 2011, o 13:32

Dzięki, za zwrócenie uwagi i znalezienie błędu. W sumie bardzo drobny był.

Moim zdaniem zrobiłeś błąd w etapie 4 wstawiając za T okres drgań własnych, a nie okres drgań tłumionych. Mi wyszło z odpowiedziami, gdy wstawiłem okres drgań tłumionych. Według wikipedii powinien być okreś drgań tłumionych, którego częstość:
\(\displaystyle{ \omega=\frac{2 \pi}{\sqrt{\omega_0^2 - \frac{\Gamma^2}{4}}}}\)

Ale i tak bardzo dziękuję, ponieważ to już mi się po mału rozjaśnia - podpowiedź w 1 poście, że można to użyć do wyznaczenia oporu ośrodka naprawdę bardzo wartościowa.

joe74
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 727
Rejestracja: 20 wrz 2011, o 17:25
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 112 razy

Logarytmiczny dekrement tłumienia

Post autor: joe74 » 31 paź 2011, o 14:07

Racja, wpisałem zły okres, dla nietłumionych drgań. Spojrzałem w skrypcie stronę dalej, na drgania wymuszone i pulsację rezonansową

\(\displaystyle{ \omega _{rez} = \sqrt{\omega_0^2 - 2 \cdot \beta^2}}\) .

Powinno być tak :

\(\displaystyle{ \omega = \sqrt{\omega_0^2 - \frac{\Gamma^2}{4}} = \sqrt{\omega_0^2 - \frac{\left( 2\beta\right)^2}{4}} = \sqrt{\omega_0^2 - \beta^2}}\)

a wtedy \(\displaystyle{ \beta}\) wyznaczyć musimy z równania:

\(\displaystyle{ 2 \pi \cdot \frac{\beta}{\lambda} = \sqrt{4 \pi ^{2} \cdot \frac{g}{d} - \beta^2}}\)

ODPOWIEDZ