Matematyka.pl

Dla jakich \(\displaystyle{ \alpha}\) zachodzi równość:

\(\displaystyle{ \frac{1}{\sin\alpha} \sqrt{ \frac{1}{1+\cos\alpha} + \frac{1}{1-\cos\alpha} } - \sqrt{2} = - \sqrt{2} (2 + \ctg\alpha^{2})}\)

Zamiast \(\displaystyle{ \ctg\alpha^2}\) winno być zapewne \(\displaystyle{ \ctg^2\alpha}\).

Po lewej stronie przekształć wyrażenie pod pierwiastkiem, by otrzymać \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{|\sin\alpha|}}\).
Po prawej stronie mamy natomiast \(\displaystyle{ -\sqrt{2}\left(2+\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}\right)}\). Co więcej, po dodaniu stronami \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) prawa strona ma postać \(\displaystyle{ -\sqrt{2}\left(1+\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{\sin^2\alpha}}\).

Wobec tego równanie jest następujące: \(\displaystyle{ \frac{1}{\sin\alpha}\cdot\frac{\sqrt{2}}{|\sin\alpha|}=-\frac{\sqrt{2}}{\sin^2\alpha}}\), skąd łatwo wynika \(\displaystyle{ |\sin\alpha|=-\sin\alpha}\), przy czym \(\displaystyle{ \sin\alpha\ne 0}\). Zatem mamy \(\displaystyle{ \sin\alpha<0}\). Wystarczy rozwiązać tę nierówność.

Dzięki wielkie!:)