Matematyka.pl

Obliczyć granice ciągów liczbowych:

1. \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}}\) \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\)\(\displaystyle{ \sqrt[n]{(n+1)(n+2)(n+3)...(n+n)}}\)
2. \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}}\) \(\displaystyle{ \sqrt[n]{{n\choose k}}}\)


ad 1.
Domyślam się, że należy użyć tu zasadę trzech ciągów. Jednakże nie umiem jej tutaj zastosować.
Jedynie co jestem w stanie rozpisać to:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}}\) \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\)\(\displaystyle{ \sqrt[n]{(n+1)(n+2)(n+3)...(n+n)}}\) \(\displaystyle{ =}\) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}}\) \(\displaystyle{ \frac{\sqrt[n]{(n+1)(n+2)(n+3)...(n+n)}}^{n}}\)\(\displaystyle{ =}\)
\(\displaystyle{ =}\) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}}\) \(\displaystyle{ \frac{ [(n+1)(n+2)(n+3)...(n+n)]^{\frac{1}{n}} }^{n}}\)

i na tym się kończy. Proszę o jakąś wskazówkę.

ad 2.
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}}\) \(\displaystyle{ \sqrt[n]{{n\choose k}}}\)\(\displaystyle{ =}\) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}}\) \(\displaystyle{ \sqrt[n]{\frac{n!}{k!(n-k)!} }}\)
nie mam zielonego pojęcia jak to w ogóle ruszyć. Również proszę o podpowiedź.

1.
(1) Jeśli \(\displaystyle{ a_n = \frac{1}{n} \sqrt[n]{(n+1)(n+2)(n+3) \cdots (n+n)},}\) to

\(\displaystyle{ \ln a_n = \ln \sqrt[n]{\left(1+\frac{1}{n} \right) \left(1+\frac{2}{n} \right) \left(1+ \frac{3}{n} \right) \cdots \left(1+ \frac{n}{n} \right)} =}\)

\(\displaystyle{ =\frac{1}{n} \left( \ln \left(1+\frac{1}{n} \right) + \ln \left(1+\frac{2}{n} \right) + \ln \left( 1+\frac{3}{n} \right) + \ldots + \ln \left( 1+\frac{n}{n} \right) \right)}\)

a więc

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \ln a_n = \int \limits_1^2 \ln x \mbox dx}\)


(2) Można też zauważyć, że \(\displaystyle{ (n+1)(n+2)(n+3) \cdots (n+n) = \frac{(2n)!}{n!}}\) i skorzystać ze wzoru Stirlinga na silnię.

(3) Jeszcze innym sposobem jest skorzystanie z faktu, że jeśli dla pewnego ciągu dodatnich liczb \(\displaystyle{ b_n}\) istnieje granica

\(\displaystyle{ g=\lim_{n \to \infty} \frac{b_{n+1}}{b_n},}\)

to również

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{b_n} =g.}\)


2. Spróbuj najpierw udowodnić, że \(\displaystyle{ {n \choose k} < n^k.}\)

w 1. granica wyszła mi 0. Pokićkałam coś, czy rzeczywiście jest taki wynik?

Wynik jest inny. Jak liczysz?

\(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) powinien wyjść?

algady, to nie jest zgadywanka, Dasio11 napisał co należy konkretnie obliczyć.