Matematyka.pl

Witam, czy moglibyście pomóc zrozumieć mi pare szczegułów. Oto one.
1) Mam rekurencje \(\displaystyle{ a_{n} = 4a_{n-2} + 10\cdot3^{n}}\)
Z równania charakterystycznego części jednorodnej wyliczam pierwiastki \(\displaystyle{ {-2; 2}}\), a ze znalezionego sposobu na tym forum na niejednorodne biore jeszcze jeden pierwiastek \(\displaystyle{ 3}\). Po zebraniu wszystkiego w równaniu charakterystycznym wychodzi:

\(\displaystyle{ (x-2)(x+2)(x-3)^{1}}\) - ta jedynka wyszla ze wzoru 1+{stopień_wielomianu}. Co daje:

\(\displaystyle{ a_{n} = A\cdot(-2)^{n}+B\cdot2^{n}+C\cdot3^{n}}\)

1) Ale jak zrobić to zadanie gdy trójka w tym wielomianie nie będize do n-tej, tylko np.

\(\displaystyle{ a_{n} = 4a_{n-2} + 10\cdot3^{n-2}}\) ?

2) Co zrobić gdy rekurencja nie będzie taka ładna tylko np. wystąpi mnożenie między dwoma wyrazami rekurencyjnymi?

\(\displaystyle{ a_{n} = a_{n-1}\cdot4a_{n-2} + 10\cdot3^{n}}\) ?

2) Jak indukcyjnie udowodnić prawdziwośc takiego wzoru?

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{2n}(-1)^{k+1}\cdot\frac{1}{k} = \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k}}\) ?

Chociaż krótki opis co ja mam konkretnie zrobić. Sprawdzam dla n = 1, potem zakładam, że dla (n+1) też działa i teraz...

osatnie:

oznacznia \(\displaystyle{ L(n),P(n)}\) są chyba oczywiste. Potem sprawdzasz bazę indukcji, zakladasz prawdziwość dla pewnego \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\)


\(\displaystyle{ P(n+1)-P(n)=\sum\limits_{k=1}^{n+1}\frac{1}{n+1+k}-\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k}=\left(\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\dots+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}\right)-\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\dots+\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n}\right)=-\frac{1}{n+1}+\left(\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+2}\right)+\left(\frac{1}{n+3}-\frac{1}{n+3}\right)+\dots+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}=\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{n+1}}\)

czyli z tego masz:

\(\displaystyle{ P(n+1)=P(n)+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{n+1}=L(n)+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}=\sum\limits_{k=1}^{2n}\left(-1\right)^{k+1}\cdot \frac{1}{k}+\left(-1\right)^{2n+1+1}\cdot \frac{1}{2n+1}+\left(-1\right)^{2n+2+1}\cdot \frac{1}{2n+2}=\sum\limits_{k=1}^{2n+2}\left(-1\right)^{k+1}\cdot \frac{1}{k}=\sum\limits_{k=1}^{2(n+1)}\left(-1\right)^{k+1}\cdot \frac{1}{k}=L(n+1)}\)

i teraz zostaje tylko ta formułka

co do rekurencji 1. normalnie piszesz równanie charakretystyczne:

\(\displaystyle{ r^2-4=0}\)

dostajesz z tego pierwiastki \(\displaystyle{ 2,-2}\)

i przewidujesz rozwiązanie postaci \(\displaystyle{ a_n=A2^n+B(-2)^n+C3^n}\)

wyznaczenie stałych to czyste liczenie

Tak zapisany wzór na wyraz \(\displaystyle{ a_{n}}\) będzie dobry, bez względu na to czy w postaci rekurencyjnej będzie \(\displaystyle{ 3^{n}}\) czy \(\displaystyle{ 3^{n-2}}\) ?

dobrze będzie i tak i tak, bo najwyżej wyjdzie inna stała. W końcu \(\displaystyle{ A3^n=9A\cdot 3^{n-2}}\)

Ale jak z 1 zrobiło się 2 ?

Różnica chyba powinna być równa = L(n+1) - L(n) = P(n+1) - P(n), a tutaj chyba nie jest?


[edit] Proszę używać opcji "Cytuj" w przypadku odnoszenia się do zawartości postu kolegi. pzdr Undre

a wrzuć na jedną kreskę \(\displaystyle{ \frac{1}{2n+2}-\frac{1}{n+1}}\)

spajder pisze:a wrzuć na jedną kreskę \(\displaystyle{ \frac{1}{2n+2}-\frac{1}{n+1}}\)

\(\displaystyle{ -\frac{(n+1)}{2(n+1)^{2}}}\) wybacz, to już chyba przemęczenie, że tego nie zauważyłem