Matematyka.pl

Witam!
Mam problem z dwoma zadaniami. O ile pierwsze z nich potrafię jako-tako rozwiązać (bo nie lubię prosić o pomoc nawet nie próbując) o tyle przy tym drugim kompletnie zgłupiałem.

Narysuj diagramy Hassego dla następujących relacji:

a) \(\displaystyle{ x \subseteq y}\) gdy \(\displaystyle{ x<y-1}\) lub\(\displaystyle{ x=y}\) gdzie\(\displaystyle{ x,y \in {0,1,2,3,4}}\)

b) (\(\displaystyle{ x _{1},x _{2}) \subseteq (y _{1}, y _{2}}\) gdy \(\displaystyle{ x _{1} ^{2} +x _{2} ^{2} \le y _{1} ^{2} + y _{2} ^{2}}\) dla\(\displaystyle{ x _{1}, x _{2}, y _{1}, y_{2} \in {0,1,2} )}\)

Przykład a (chyba) umiem zrobić. Ze sobą w relacji będą:
0 R 2;
0 R 3;
0 R 4;
1 R 3;
1 R 4;
2 R 4;

Nie wiem, jak tutaj narysować taki diagram, ale będzie to mniej-więcej cos takiego:
kreskami BEZPOŚREDNIO jest połączone 0 i 2,3 oraz 1 i 3,4. Ponadto kreski idą od 2 do 4. Czy tak jest dobrze?







Natomiast jeśli chodzi o przykład b), to nie mam pojęcia jak się do tego zabrać. Mam sprawdzać na zasadzie każdy-z-każdym?!?!?!?!
Prosiłbym o pomoc i podpowiedź ogólną: jak rozwiązywać takie zadania.

a) masz OK.

Jak robić? Zrozumieć, jak dana relacja porządkuje dany zbiór. Akurat w b) nie ma dużo sprawdzania, gdybyś chciał to zrobić "na piechotę". Ale prościej jest zauważyć, że jeden punkt płaszczyzny jest \(\displaystyle{ \le}\) od drugiego, gdy jest w nie większej odległości od środka układu.

JK

Hmmm... Jeśli dobrze Cię rozumiem, to w takim układzie diagram Hassego, dla zbioru b) będzie po prostu linią prostą, z góry na dół:

Punkt (0) (czyli 0+0) jest na przykład w relacji ze wszystkimi puntami innymi.
Punkt (1) (czyli 0+1, albo 1+0) jest w relacji ze wszystkimi oprócz (0,0) czyli niejako "idzie" pięterko wyżej.
Punkt (2) (czyli 1+1) jest w relacji ze wszystkimi oprócz tych, które leżą niżej.
itp
itd

Czyli diagram będzie bez odgałęzień od punktu 0 do punktu (5) (\(\displaystyle{ 2 ^{2}+1 ^{2})}\), bo punkt 8 już nie będzie w relacji z niczym, dobrze mówię?

Cybran pisze:Hmmm... Jeśli dobrze Cię rozumiem, to w takim układzie diagram Hassego, dla zbioru b) będzie po prostu linią prostą, z góry na dół:

Punkt (0) (czyli 0+0) jest na przykład w relacji ze wszystkimi puntami innymi.
Punkt (1) (czyli 0+1, albo 1+0) jest w relacji ze wszystkimi oprócz (0,0) czyli niejako "idzie" pięterko wyżej.
Punkt (2) (czyli 1+1) jest w relacji ze wszystkimi oprócz tych, które leżą niżej.

Źle interpretujesz ten porządek - on dotyczy par!

Najmniejsza jest para \(\displaystyle{ \langle 0,0\rangle}\). Nad nią są pary \(\displaystyle{ \langle 1,0\rangle}\) i \(\displaystyle{ \langle 0,1\rangle}\) (bo \(\displaystyle{ 0<1}\)). Potem jest para \(\displaystyle{ \langle 1,1\rangle}\) (bo \(\displaystyle{ 1<2}\)), potem pary \(\displaystyle{ \langle 2,0\rangle}\) i \(\displaystyle{ \langle 0,2\rangle}\) (bo \(\displaystyle{ 2<4}\)) itd.

JK

Hmm... wielkie dzięki, dało mi to do myślenia...
Ale... nie bardzo rozumiem konstrukcję tych wymienionych przez Ciebie par. To są dwa iksy czy iks i igrek? Na jakiej zasadzie się to dobiera? Pewnie jest to jakaś oczywista oczywistość, ale po prostu tego nie widzę

Chodzi mi o to, co oznacza np. para \(\displaystyle{ <1,0> x _{1} =1}\) oraz \(\displaystyle{ x _{2} =0}\)? I to porównujemy do igreków?

przepraszam, że tak męczę, ale nienawidzę mechanicznie robić zadań, których na 100% nie zrozumiem

Masz relację porządku zadaną na zbiorze

\(\displaystyle{ \{0,1,2\}\times\{0,1,2\}=\{\langle 0,0\rangle,\langle 0,1\rangle, \langle 0,2\rangle,\langle 1,0\rangle,\langle 1,1\rangle,\langle 1,2\rangle,\langle 2,0\rangle,\langle 2,1\rangle,\langle 2,2\rangle\}}\)

Pozostaje Ci sprawdzić, która para jest większa od której. Np. masz \(\displaystyle{ \langle 1,1\rangle\preceq \langle 2,0\rangle}\), bo \(\displaystyle{ 1^2+1^2\le 2^2+0^2}\).

JK

Ok, wszystko jasne Wielkie wielkie dzięki