Matematyka.pl

Witam , mam pewien problem , otóż robię po kolei tak jak ma być ( tak mi się wydaje) , lecz nagle napotykam na problem , a oto całe zadanie:

Oblicz:
\(\displaystyle{ \left( -3\sqrt{2} + 3\sqrt{2} i \right)^{4}}\)

czyli:
\(\displaystyle{ z = -3\sqrt{2}+ 3\sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ |z| = \sqrt{ \left( -3\sqrt{2}\right)^{2}+ \left( 3\sqrt{2}\right)^{2}}}\)

\(\displaystyle{ |z| = \sqrt{36}}\)

\(\displaystyle{ |z| = 6}\)

\(\displaystyle{ z = 6^{4} \left( \cos\delta +i\sin \delta \right)}\)

i dalej właśnie nie wiem , wiem że \(\displaystyle{ \cos\delta = \frac{a}{|z|} \ \ \ \sin\delta = \frac{b}{|z|}}\) tylko po podstawieniu wychodzi mi wyniki bez \(\displaystyle{ \pi}\) a powinno wychodzic z pi , po prostu czy może mi ktoś to wytłumaczyć , jak to przekształcać na miarę z pi ??? wiem że zawiłe to trochę , po prostu , niech mi ktoś wytłumaczy jak robic dalej od miejsca w którym skończyłem ?

Zależy jaki przyjmujesz argument główny.

\(\displaystyle{ \cos \delta = \frac{-3\sqrt{2}}{6} = -\frac{\sqrt{2}}{2}}\)

\(\displaystyle{ \sin \delta = \frac{\sqrt{2}}{2}}\)

Dla argumentu głównego \(\displaystyle{ \delta \in \left<-\pi, \pi\right>}\)

\(\displaystyle{ \delta = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}}\).

ok już wiem , wystarczy narysować a i b i widać , tylko że to akurat taki przykład , co jak nie będe mógł odczytać tak prosto że to jest dajmy na to \(\displaystyle{ \frac{3}{4} \pi}\) , jak przekrztałcić wynik na tą miarę z \(\displaystyle{ \pi}\)

Według mnie można tylko przybliżać wartość kąta. Nie znam innego sposobu.

ok ale dajmy na to , jest zadanie , by zapisać w postaci trygonometrycznej: \(\displaystyle{ 1 + i \sqrt{3}}\)
mi wychodzi \(\displaystyle{ z=2\left( i\sin \frac{ \sqrt{3} }{2} + \cos \frac{1}{2} \right)}\) a w odpowiedziach jest \(\displaystyle{ 2\left( \cos \frac{ \pi }{3} + i\sin \frac{ \pi }{3} \right)}\)

jak to zamieniać ???

Źle.
\(\displaystyle{ \cos\delta = \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \delta = \frac{\pi}{3}}\)

Analogicznie z sinusem. Nie możesz napisać:
\(\displaystyle{ \cos\frac{1}{2} = \cos\frac{\pi}{3}}\) bo to bzdura. Rozróżniaj wartość funkcji trygonometrycznej od wartości argumentu.