Oblicz pola kół wpisanych w trójkąty prostokątne

remek · Post autor: **remek** » 13 cze 2004, o 10:57

W trójkącie prostokątnym wysokość dzieli przeciwprostokatną na odcinki o długościach 4 i 16.
Oblicz pola kół wpisanych w trójkąty, na które dany trójkąt zostal podzielony.

Czy ktoś pomoże ?

Gość · Post autor: **Gość** » 13 cze 2004, o 12:26

remek pisze:W trójkącie prostokątnym wysokość dzieli przeciwprostokatną na odcinki o długościach 4 i 16.
Oblicz pola kół wpisanych w trójkąty, na które dany trójkąt zostal podzielony.

Nazwijmy ten trójkat ABC, gdzie:
AB = przeciwprostokątna = 20
AC = dłuższa przyprostokątna = b
BC = krótsza przyprostokątna = a

niech CH = h będzie wysokością na bok AB

Ułóż układ trzech równań (z tw. Pitagorasa dla trzech trójkątów prostokątnych), z których wyjdzie Ci, że:
\(\displaystyle{ h=8}\),
\(\displaystyle{ a=4\cdot \sqrt{5}}\),
\(\displaystyle{ b=8\cdot \sqrt{5}}\),

Czy dalej (z promieniami okręgów wpisanych w te trójkąty) sobie poradzisz ?

remek · Post autor: **remek** » 13 cze 2004, o 12:31

Do tego szczerze mówiąc doszedłem. Ułożyłem układ z 3-ma niewiadomymi. Znalazlem długości boków i długość wysokości, ale później gorzej ...

Gość · Post autor: **Gość** » 13 cze 2004, o 12:33

hmmm ... Dalej to standardowe zadanie:
Masz trójkąt prostokątny o podanych bokach. Znajdź promień okręgu wpisanego w ten trójkąt ...

Gość · Post autor: **Gość** » 13 cze 2004, o 12:40

No dobra.
Weźmy trójkąt o przyprostokątnych 8 i 16 oraz przeciwprostokątnej \(\displaystyle{ 8\sqrt{5}}\).
Niech R - promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Narysuj to wszystko.
Zaznacz promienie do punktów styczności.
Zaznacz równe odcinki na bokach tego trójkąta.
Wpisz długości tych odcinków.

Na przeciwprostokątnej powinieneś otrzymać dwa odcinki o długościach:
(8 - R) oraz (16 - R), które w sumie dają tą przeciwprostokątna.
Masz więc równanie z jedną niewiadomą.
Z tego wyliczysz R.

Analogicznie dla tego mniejszego trójkąta.

Gość · Post autor: **Gość** » 13 cze 2004, o 12:45

Anonymous pisze:Analogicznie dla tego mniejszego trójkąta.

Albo z podobieństwa tych dwóch trójkątów (skala podobieństwa dotyczy także promieni okręgów wpisanych).

remek · Post autor: **remek** » 13 cze 2004, o 12:46

Nie wiedziałem czy to było konieczne. Jest masa wzorów na koła wpisane i opisane w trójkąty. Nie mam do nich dojścia i być może dlatego ciężko mi rozwiązać owe zadanie.

Gość · Post autor: **Gość** » 13 cze 2004, o 12:49

Po co Ci dojścia ?
Po prostu:
Narysuj dobry (czytelny) rysunek i pomyśl.

Ja też nie pamiętam tych wzorów o których piszesz.

remek · Post autor: **remek** » 13 cze 2004, o 12:59

Już znalazłem wzór.
Dzięki i sorka za kłopot. Dzięki i pozdroowka.

Gość · Post autor: **Gość** » 13 cze 2004, o 13:03

remek pisze:Już znalazłem wzór.

O! A mógłbys podać ?

remek · Post autor: **remek** » 13 cze 2004, o 13:11

Jasne:
\(\displaystyle{ r=\frac{P}{p}=\frac{a\cdot b}{a+b+c}}\)