Matematyka.pl

da się to jakoś rozłożyć na czynniki?:

\(\displaystyle{ x^{3}+x+6=0}\)

Hmmm... myślę, że dopóki jeszcze jest jakiś pierwiastek, to się da

Jak - to inna sprawa, bo liczby wychodzą paskudne.

Rzadko rachuję wzorami Cardano,ale jeśli się nie mylę ten pierwiastek rzeczywisty wygląda tak:

\(\displaystyle{ x=\sqrt[3]{ \frac{2 \sqrt{183} }{9}-3 } -\sqrt[3]{ \frac{2 \sqrt{183} }{9}+3 }}\)

Kto chce niech dzieli przez dwumian teraz

Psiaczek, jak ktoś miał zespolone to zamiast dzielić może
z pierwiastków z jedynki skorzystać
Warto też przedstawić obliczenia prowadzące do obniżenia stopnia równania
Wtedy widać jak dobrać pierwiastki z jedynki aby uzyskać pozostałe pierwiastki
równania

\(\displaystyle{ x=u+v\\
\left( u+v\right)^3+\left( u+v\right)+6=0\\
u^3+3u^2v+3uv^2+v^3+\left( u+v\right)+6=0\\
u^3+v^3+6+3\left( u+v\right)\left( uv+ \frac{1}{3} \right)=0\\
\begin{cases} u^3+v^3=-6 \\ uv=- \frac{1}{3} \end{cases}\\
\begin{cases} u^3+v^3=-6 \\ u^3v^3=- \frac{1}{27} \end{cases}\\
t^2+6t- \frac{1}{27}=0 \\
\left( t+3\right)^2-9- \frac{1}{27}=0\\
\left( t+3+ \sqrt{ \frac{244}{27} }\right) \left( t+3- \sqrt{ \frac{244}{27} } \right) \\
u^3=-3-2\frac{ \sqrt{183} }{9}\\
v^3=-3+2\frac{ \sqrt{183} }{9} \\
u= \sqrt[3]{-3- \frac{2 \sqrt{183} }{9} }\\
v= \sqrt[3]{-3+ \frac{2 \sqrt{183} }{9} }\\
x= \sqrt[3]{-3- \frac{2 \sqrt{183} }{9} }+\sqrt[3]{-3+ \frac{2 \sqrt{183} }{9} }\\}\)

Z układu równań wynika że aby znaleźć pozostałe pierwiastki równania wystarczy dobrać
pierwiastki z jedynki w ten sposób

\(\displaystyle{ x_{0}=\sqrt[3]{-3- \frac{2 \sqrt{183} }{9} }+\sqrt[3]{-3+ \frac{2 \sqrt{183} }{9} }\\
x_{1}=e^{ \frac{2i\pi}{3} }\sqrt[3]{-3- \frac{2 \sqrt{183} }{9} }+e^{ \frac{4i\pi}{3} }\sqrt[3]{-3+ \frac{2 \sqrt{183} }{9} }\\
x_{2}=e^{ \frac{4i\pi}{3} }\sqrt[3]{-3- \frac{2 \sqrt{183} }{9} }+e^{ \frac{2i\pi}{3} }\sqrt[3]{-3+ \frac{2 \sqrt{183} }{9} }\\}\)