Matematyka.pl

Mam znaleźć taką granicę:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{ \sqrt[n]{n!}}{n}}\)

Dawno nie liczyłem granic i nie wiem, jak to ruszyć. Proszę o lekkie tryknięcie, bez przerzucania mnie od razu na drugą stronę płotu.

Po paru eksperymentach z komputerem jestem prawie pewien, że granicą jest \(\displaystyle{ e^{-1},}\) ale tylko prawie. Programu co by to policzył nie znalazłem, więc tylko przybliżałem i wygląda, że się zgadza. Ale dalej nie widzę, jak do tego dojść. Próbowałem logarytmować, nic nie zobaczyłem. Szukałem wzoru \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\left (1-\frac{1}{n}\right )^n = e^{-1}}\), ale go tu nie widzę.

Powyższy symbol ma postać \(\displaystyle{ 0^0}\). Proponuję zamienić:

\(\displaystyle{ \left(\frac{n!}{n^n}\right)^\frac1n=e^{\frac1n\ln\frac{n!}{n^n}}}\)

i skorzystać z twierdzenia Stolza w wykładniku.

Albo skorzystaj z tego, że \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}\to g\Rightarrow \sqrt[n]{a_n}\to g}\).