Matematyka.pl

Witam. W pewnym zadaniu muszę wyznaczyć sumę następującego ciągu
\(\displaystyle{ \frac{1}{10}+\frac{2}{10^{2}}+\frac{3}{10^{3}}+ \ldots +\frac{n}{10^{n}}}\)

Nie wiem nawet jaki to jest ciąg, bo wraz ze wzrostem n w liczniku jest dodawana wartość, a w mianowniku zachodzi mnożenie. Z góry dziękuję za odpowiedź.

Jeżeli się nie mylę, ten ciąg to \(\displaystyle{ \frac{n}{10^n}}\)

Tak, to jest wzór na wyraz ciągu, ale nie mogę go zastosować w żadnym znanym wzorze na sumę wyrazów ciągu.

Można to zrobić na piechotę, ale rachunki żmudne troszkę , poprzestawiaj tak jak pokazałem i geometrycznym jedź (łatwo się pomylić , cały czas myśl jaki pierwszy wyraz, ile masz wyrazów)

\(\displaystyle{ (\frac{1}{10}+ \frac{1}{10^2} + \frac{1}{10^3}+....+ \frac{1}{10^n})+( \frac{1}{10^2} + \frac{1}{10^3} +...+ \frac{1}{10^n})+( \frac{1}{10^3} +.....+ \frac{1}{10^n})+....+ \frac{1}{10^n}}\)

Załapałeś ideę? Każdej następnej potęgi jest o jedna sztuka więcej i dlatego tak przestawiamy.

Oczywiście dla małych n z definicji ułamka dziesiętnego zadanie jest proste

Można tą sumę zaburzyć:

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \frac{i}{10^i} + \frac{n+1}{10^{n+1}} = \sum_{i=1}^{n+1} \frac{i}{10^i} = \frac{1}{10} + \sum_{i=1}^{n} \frac{i+1}{10^{i+1}} = \frac{1}{10}+\frac{1}{10}\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{i}{10^i}+\frac{1}{10^i}\right) = \frac{1}{10} + \frac{1}{10}\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{10^i} + \frac{1}{10}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{10^i} = \frac{1}{10} + \frac{1}{10}\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{10^i}+\frac{10^n-1}{9\cdot 10^{n+1}} \\ \\ \iff \\ \\ \frac{9}{10}\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{10^i} = \frac{1}{10}+\frac{10^n-1}{9\cdot 10^{n+1}}-\frac{n+1}{10^{n+1}} = \frac{9\cdot 10^n + 10^n-1 - 9(n+1)}{9\cdot 10^{n+1}} = \frac{10^{n+1}-9n-10}{9\cdot 10^{n+1}} \\ \\ \iff \\ \\ \sum_{i=1}^{n} \frac{i}{10^i} = \frac{10^{n+1}-9n-10}{81\cdot 10^n}}\)