Matematyka.pl

Witam, otóż nie za bardzo wiem jak zabrać się za to zadanie:

Niech X będzie dowolnym zbiorem, a d metryką w X. Pokaż, że:
\(\displaystyle{ f(x,y)= \frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}}\)
to metryka w X.

Nie chodzi mi o samo rozwiązanie, tylko wskazówki jak się za to zabrać Bo chciałabym to zrozumieć..

Będę wdzięczna za pomoc.

No jak mamy pokazac, to raczej jest, wiec trzeba wykazac wszystkie warunki.
No wiec lecim:
1. \(\displaystyle{ f(x,y) \ge 0}\)
Dla mnie oczywiste, a dla Ciebie?
2. \(\displaystyle{ f(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y}\)
Raczej tez oczywiste przydaloby sie czyms podeprzec.
Na koniec nierownosc trojkata:
3. \(\displaystyle{ f(x,z) \le f(x,y)+f(y,z)}\)
No i tu pewnie bedzie trzeba sie troszke nagimnastykowac...

Musisz zbadać, czy ta funkcja jest nieujemna i spełnia następujące własności:
1. niezdegenerowana, tzn.
\(\displaystyle{ f(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y}\)
2. symetryczność:
\(\displaystyle{ f(x,y)=f(y,x)}\)
3. warunek trójkąta
\(\displaystyle{ f(x,y) \le f(x,z)+f(z,y)}\)

Pyzol zapomniał o symetryczności..

loj zapomnialem o symetrii, ale to tez oczywiste

yvonna pisze:

Nie chodzi mi o samo rozwiązanie, tylko wskazówki jak się za to zabrać

Mimo wszystko jak nie dasz rady nierówności trójkąta to krzycz, znalazłem zeszyt gdzie mam to rozpisane

78629.htm
Co do nierownosci, ale nie sprawdzalem

pyzol pisze:https://www.matematyka.pl/78629.htm
Co do nierownosci, ale nie sprawdzalem

ja mam dość podobnie, tylko wcześniej pozbywam się ułamków, jakby co to wrzucę .

Dziękuję za dotychczasowe wskazówki

Jeśli chodzi o nierówność trójkąta to Psiaczek byłam bym wdzięczna za Twoje rozwiązanie i pozbycie się tych ułamków

czyli oznaczam \(\displaystyle{ d(x,y)=a,d(x,z)=b, d(y,z)=c}\)

do pokazania jest:

\(\displaystyle{ \frac{a}{1+a}+ \frac{b}{1+b} \ge \frac{c}{1+c}}\)

mnożę przez dodatnie wyrażenie \(\displaystyle{ (1+a)(1+b)(1+c)}\) stronami

\(\displaystyle{ a(1+b)(1+c)+b(1+a)(1+c) \ge c(1+a)(1+b)}\)

\(\displaystyle{ (a+ab)(1+c)+(b+ab)(1+c) \ge (a+b+ab+1)c}\)

\(\displaystyle{ (a+2ab+b)(1+c) \ge (a+b+ab+1)c}\)

\(\displaystyle{ a+2ab+b \ge (a+b+ab+1)c-(a+2ab+b)c}\)

\(\displaystyle{ a+2ab+b \ge (1-ab)c}\)

\(\displaystyle{ a+2ab+b+abc \ge c}\)

\(\displaystyle{ (a+b)+(2ab+abc) \ge c}\)

ostatnia nierówność jest prawdziwa bo drugi składnik nieujemny , a pierwszy składnik większy niż c - obydwie te rzeczy wynikają z faktu że wyjściowa \(\displaystyle{ d}\) była metryką

dziekuję bardzo za pomoc