Matematyka.pl

1. Czy dla dowolnej niepustej rodziny \(\displaystyle{ X \subseteq P(R)}\) zachodzi równosc: \(\displaystyle{ \bigcup - X=- \bigcup X}\) . A równosc \(\displaystyle{ \bigcup - X=- \bigcap X}\)? W obu przypadkach podaj dowód lub kontrprzykład z uzasadnieniem.

-- 22 paź 2011, o 19:27 --

Tak, dokładnie o to.

Definicja \(\displaystyle{ \mathbb X \subseteq P \left( \mathbb R \right)}\) oznacza, że \(\displaystyle{ \mathbb X}\) jest pewną rodziną podzbiorów \(\displaystyle{ \mathbb R.}\) Na pewno miałeś to na myśli?

Co ma oznaczać \(\displaystyle{ \cup - \mathbb X}\) albo \(\displaystyle{ - \cup \mathbb X?}\) Radzę zapisać to poprawnie, żeby ktoś w ogóle był w stanie zrozumieć treść.

TO jest zapisane poprawnie...
\(\displaystyle{ \cup - X}\) - suma uogólniona dopełnień..
\(\displaystyle{ - \cup X}\) - dopełnienie sumy uogólnionej..

-- 23 paź 2011, o 11:30 --

i ja najbardziej chodzi o \(\displaystyle{ X \subseteq P \left( R \right)}\), inaczej nie miałyby sensu te sumy/iloczyny uogólnione..

No i jakie masz przypuszczenia/skojarzenia? Może jakieś prawa de... ?

JK

Szczerze mówiąc nawet nie bardzo wiem jak to ruszyć nawet z praw de Morgana.. Próbowałem cos takiego dla pod 1: \(\displaystyle{ \cup -X=- \cap X}\) ( z praw de ..), poźniej podstawiam i otrzymuje:\(\displaystyle{ - \cap X=- \cup X}\) a nastepnie przekształcajac definicje sumy i iloczynu doprowadzic do sprzecznosci, ale nie wiem czy to dobra droga i jaki dac kontrprzykład..

Jak już zauważyłeś, należy przypuszczać, że może być \(\displaystyle{ \bigcup-X\neq-\bigcup X}\). Czas zatem poszukać kontrprzykładu. Spróbuj wziąć takie \(\displaystyle{ X}\), które jest dwuelementową rodziną zbiorów, z których jeden zawiera się w drugim.

JK

Nie wiem czy dobrze myślę, ale te obie równości są nieprawdziwe.
Dla \(\displaystyle{ \bigcup-X = -\bigcup X}\) weźmy \(\displaystyle{ X = \left\{ \left\{1\right\},\left\{2\right\} \right\}}\) wtedy \(\displaystyle{ -X = P\left(R\right)-X}\). \(\displaystyle{ \bigcup -X = R}\) natomiast \(\displaystyle{ -\bigcup X = R - \left\{1,2\right\}}\).
Dla \(\displaystyle{ \bigcup -X = - \bigcap X}\) weźmy \(\displaystyle{ X = \left\{\left\{1,2,3\right\},\left\{1,2\right\}\right\}}\) wtedy \(\displaystyle{ -X = P\left(R\right)-\left\{\left\{1,2,3\right\},\left\{1,2\right\}\right\}}\). \(\displaystyle{ \bigcup -X = R}\) natomiast \(\displaystyle{ - \bigcap X = R - \left\{1,2\right\}}\).
Co do pierwszego jestem raczej pewien, ale w drugim mam wątpliwości, bo podobno jest to jakieś prawo. Mógłby ktoś wskazać błąd?

Pierwsze jest dobrze policzone (choć lokalnie źle zapisane: \(\displaystyle{ -X=\{\mathbb R-A:A\in X}\)).

Drugie jest źle (nie jest rozsądną rzeczą dowodzić fałszywości prawa de Morgana...). W obu przypadkach wychodzi \(\displaystyle{ \mathbb R-\{1,2\}}\). Przecież \(\displaystyle{ -X=\{\mathbb R-\{1,2\},\mathbb R-\{1,2,3\}\}}\).

JK

Dziekuje bardzo, tyle ze zupełnie nie mam pomyslów co do dowodu prawa de Morgana..

Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ x}\). Mamy

\(\displaystyle{ x\in-\bigcap X \Leftrightarrow \neg(x\in\bigcap X) \Leftrightarrow \neg(\forall A\in X)x\in A \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow \neg(\forall A\in P(\mathbb R))(A\in X \Rightarrow x\in A) \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow (\exists A\in P(\mathbb R))(A\in X\land x\notin A) \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow (\exists A\in P(\mathbb R))(A\in X\land x\in -A) \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow (\exists B\in P(\mathbb R))(B\in -X\land x\in B) \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow (\exists B\in -X)x\in B \Leftrightarrow x\in \bigcup-X}\)

JK

Jan Kraszewski pisze:Pierwsze jest dobrze policzone (choć lokalnie źle zapisane: \(\displaystyle{ -X=\{\mathbb R-A:A\in X}\)).

A czy przez to, że w poleceniu zostało podane, że \(\displaystyle{ X \subseteq P(R)}\), to \(\displaystyle{ -X}\) nie powinien być równy tym elementom które należą do \(\displaystyle{ P(R)}\) i nie należą do X ?

Zgodnie z tym

adambak pisze:TO jest zapisane poprawnie...
\(\displaystyle{ \cup - X}\) - suma uogólniona dopełnień..
\(\displaystyle{ - \cup X}\) - dopełnienie sumy uogólnionej..

zinterpretowałem \(\displaystyle{ -X}\) nie jako dopełnienie \(\displaystyle{ X}\) do \(\displaystyle{ P(\mathbb R)}\), tylko jako tzw. dopełnienie kompleksowe.

JK