Matematyka.pl

Witam, proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania.
.
Ciało rzucono pionowo do góry z prędkością początkową \(\displaystyle{ v_0=20\frac{\text{m}}{\text{s}}}\). Znaleźć odstęp czasu między chwilami, kiedy znajdowało sie ono w połowie maksymalnej wysokości. Zaniedbać opór powietrza. Przyjąć przyspieszenie ziemskie \(\displaystyle{ g}\).

Myślałem zrobić to podstawiając wzór \(\displaystyle{ \frac{1}{2}H_{\text{max}}}\) pod drogę \(\displaystyle{ v _{0}t - \frac{1}{2}gt ^{2}}\) ale nie wychodzi mi w ten sposób wyprowadzenie \(\displaystyle{ t}\)

To trzeba z równości energii kinetycznej i potencjalnej.

\(\displaystyle{ h}\) - maksymalna wysokość

\(\displaystyle{ \frac{mv_0 ^2}{2} = mgh \Rightarrow h=\frac{v_0 ^2}{2g}}\)

Z najwyższego punktu ciało porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem g. Pokonuje drogę równą h. Czas przebycia drogi do połowy wysokości jest taki sam, jak czas przebycia drogi z dołu od połowy wysokości maksymalnej:

\(\displaystyle{ \frac{h}{2} = \frac{gt^2}{2} \Rightarrow t^2 = \frac{h}{g}}\)

I teraz wykorzystując obie równości:

\(\displaystyle{ t^2 = \frac{v_0 ^2}{2g^2}\\t=\frac{v_0}{g \sqrt{2}}=\frac{v_0 \sqrt 2}{2g}}\)

Cały czas, którego szukamy to oczywiście \(\displaystyle{ 2t}\).

Dlaczego przy \(\displaystyle{ \frac{gt ^{2} }{2}}\) nie ma \(\displaystyle{ v _{0}t}\)? Czemu nie bierze się pod uwagę prędkości początkowej?

To z własności rzutu pionowego:

Czas wznoszenia jest taki sam, jak czas opadania w dół.

Można zrobić też tak, że jednym równaniem załatwimy sprawę obu chwil, w których wysokość jest równa połowie maksymalnej, bez konieczności uwzględniania, że czas wznoszenia się jest równy czasowi spadania (wyrzut i upadek na tym samym poziomie !):

Zależność prędkości od czasu w układzie z osią Oy ku górze:

\(\displaystyle{ v _{y}\left( t\right) = v _{0} - gt}\)

z czego czas wznoszenia się \(\displaystyle{ t _{wzn}}\), po którym zostanie osiągnięta wysokość maksymalna \(\displaystyle{ h _{max}}\):

\(\displaystyle{ 0 = v _{0} - gt _{wzn} \ \ \ \Rightarrow \ \ \ t _{wzn} = \frac{v _{0}}{g}}\)

\(\displaystyle{ h _{max} = v _{0} \cdot t _{wzn} - \frac{1}{2} \cdot g t _{wzn} ^{2} = \frac{v _{0} ^{2}}{2g}}\).

Główne równanie, z kórego wyznaczymy chwile \(\displaystyle{ t _{1}}\) oraz \(\displaystyle{ t _{2}}\), w których

\(\displaystyle{ h _{1} = h _{2} = \frac{1}{2} \cdot h _{max} = \frac{1}{2} \cdot \frac{v _{0} ^{2}}{2g} = \frac{v _{0} ^{2}}{4g}}\)

ma postać:

\(\displaystyle{ \frac{v _{0} ^{2}}{4g} = v _{0} \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g t ^{2}}\)

Rozwiązaniem ostatniego równania kwadratowego są wartości chwil \(\displaystyle{ t _{1}}\) oraz \(\displaystyle{ t _{2}}\), a ich różnica jest poszukiwanym odstępem czasu:

\(\displaystyle{ \Delta t _{1-2} = t _{2} - t _{1}}\)

Cały czas, którego szukamy to oczywiście \(\displaystyle{ 2t}\).

Nie rozumiem, po co razy 2t? Jak mamy przecież obliczyć "kiedy ciało znajdowało się na połowie maksymalnej wysokości"..

Ciało dwa razy osiąga połowę maksymalnej wysokości. Podczas wznoszenia i opadania.