Matematyka.pl

odnosnie tegorocznego kangura mam do was pare pytan zwiazanych z zadaniami. w tym roku pierszwy raz pisze juniora.chcialabym sie dowiedziec jak najszybciej rozwiazywac zadania typu...:
1.Jaka jest pierwsza cyfra najmniejszej naturalnej liczby, ktorej suma cyfr jest rowna 2006.

2.Ile trojkatow rownoramiennych o polu rownym 1 ma bok dlugosci 2.

3.Jeżeli iloczyn dwoch liczb calkowitych jest rowny \(\displaystyle{ 2^5 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 7^3}\) to ich suma:
A) moze byc podzielna przez 8
B) moze byc podzielna przez 3
C) moze byc podzielna przez 5
D) moze byc podzielna przez 49
E) nie moze byc podielna prez zadna z tych liczb

4.Ile nieujemnych liczb całkowitych mniejszych od 100 mozna otryzmac jako sume dziewieciu kolejnych liczb calkowitych?

Jesli macie mozliwosc to podrzuccie jeszcze pare linkow z zadaniami z ubieglych lat.Dzieki.

ad1:
ponieważ \(\displaystyle{ 2006\equiv -1(mod9)}\) to liczba ta będzie miała 223 cyfry a najmniejszą spełniająca podane warunki będzie liczba która ma na początku osiem a potem 222 dziewiątki w zapisie dziesiętnym

1. 8 - najmniejsza liczba naturalna o podanej sumie cyfr będzie się składała (czytając od końca) z samych dziewiątek i pierwszej cyfry, którą już łatwo policzyć
2. 3 - jeden trójkąt będzie miał podstawę dł. 2 i wysokość 1, dwa pozostałe będą miały ramiona dł. 2 i podstawę pewnej długości (korzystając ze wzoru na pole trójkąta P=�absinα wnosimy, że dla a=b=2 isnieją dwa kąty α z przedziału (0,180) dla których P=1)
3. C) - przez 8 nie może być podzielna, bo w ich iloczynie 2 jest w piątej potędze, więc dokładnie jedna z liczb będzie podzielna przez 8; przez 3 też nie może być podzielna, bo 3 jest w pierwszej potędze, więc dokładnie jedna z tych liczb będzie podzielna przez 3; przez 49 też nie może być podzielna, bo 7 jest w trzeciej potędze, skąd znowu dokładnie jedna z liczb będzie podzielna przez 49; pozostaje podzielność przez 5 która może zajść, gdyż 5 jest w drugiej potędze - zatem każda liczba - a więc i ich suma - może być podzielna przez 5
4. o ile się nie mylę to 12 - znajdź wzór na sumę 9 kolejnych liczb całkowitych (sumę na 9 kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego o różnicy 1) i zbadaj dla jakich wyrazów poczatkowych będzie ta suma mniejsza od 100 a niemniejsza od 0

Nie chciałem tworzyć nowego temat, więc napisałem w tym. W tym roku przygotowuje się do kategorii junior, robiłem już dużo zadań, ale nie wiem jak szybko zrobić te:

Ile spośród 3-cyfrowych liczb naturalnych n, mniejszych od 200, posiada tę własność, że liczba (n + l)(n + 2)(n + 3) jest podzielna przez 7?
A)42 B)38 C)34 D)28 E)16

Z ciągu kolejnych liczb naturalnych od 1 do 10000 usunięto wszystkie te liczby , które nie są podzielne ani przez 5, ani przez 11. Otrzymano nowy ciąg liczbowy. Jaka liczba będzie występować w tym ciągu na miejscu 2004 ?
A)1000 B)5000 C)10000 D)6545 E)7348
Czy na znalezienie liczb jakie są wymagane w zadaniach jest jakaś reguła?

W zadaniu 1 beda to liczby n ktore z dzielenia przez 7 daja reszte 4, 5 lub 6.

Liczb trzycyfrowych mniejszych od 200 masz dokladnie 100.
102 daje reszte 4, szukana przez nas.102 +7*k tez daje reszte 4 :] Poszukajmy zatem takiego k zeby 102+7*k bylo mniejsze niz 200.
takie k to 13, bo dla k=14 mamy 102+98=200.

Mamy wiec k+1 trojek liczb spelnaijacych warunki zadania:(szukamy liczb dajacych reszte 4 gdyz wiadomo, ze kolejne beda dawaly reszty 5 i 6)

k=0 102,103,104
.
.
.
k=13 193,194,195

Mamy zatem (k+1)*3 takich liczb co daje 42, przepraszam ze tak brzydko ale nie umialem dobrze tlumaczyc nigdy :p

Zadanie drugie możesz policzyć w ten sposób:
Zostaje Ci: 2000 liczb podzielnych przez 5 i 909 podzielnych przez 11. Przy czym co jedenasta liczba podzielna przez 5 dzieli się przez 11, czyli odejmujesz od 2000 ponad 200. Zatem otrzymasz, że wszystkich liczb, które zostaną będzie około 2700. Wyrażnie widać, że 2004 jest bliżej 2700 niż 0, więc szukana liczba będzie na pewno z przedziału (5000;10000>. Wiesz jednak, że liczb jest na pewno więcej niż 2004, więc 10000 również odpada.

Zostaje tylko 6545 - odp D.
Pamiętaj, że w zadaniach z Kangura nie chodzi o to, żeby policzyć zadania, a o to, żeby zaznaczyć odpowiedź. Dlatego - tak jak tutaj - nie trzeba dokładnie liczyć, a tylko przyszacować wystarczy.

neecos,
wydaje mi się, że w tym drugim 734 to nie jest dobra odpowiedź.

tak tak :p zrozumialem ze to ciag bez liczb ktore nie dziela sie przez 5, i bez takich ktore nie dziela sie przez 11, i spojrzalem ze 734 sie nie dzieli przez nie i nie wystepuje, juz usunalem

rozw. Ciamolka jest poprawne imo

Źle przepisałem zadanie, a dokładniej tam nie ma odpowiedzi 734 a 7348..Ale już zmieniłem. Oczywiście, dziękuje wszystkim za taką szybką odpowiedź.
Pozdrawiam!

Ja także mam kilka zadanek odnośnie Kangura, o wytłumaczenie jakiejs zasady czy cos Mam ich bardzo duzo ale nie dam od razu all bo sie przestraszycie

1) Przez dopisanie do siebie 20 słów KANGAROO powstał ciąg liter. Na początek, w ciągu tym zmazujemy litery stojące na parzystych miejscach. Następnie, w tak otrzymanym nowym ciągu, ponownie zmazujemy litery stojące na parzystych miejscach. Postępowanie to kontynujemy az pozostanie jedna litera. Jaka to litera?

2) Na okręgu rozmieszczono liczby: 1,2,3. Pomiędzy każde dwie sąsiednie liczby wpisano ich sumy, otrzymując n a okręgu sześć liczb 1,3,2,5,3,4. Operację wpisywania sum liczb sąsiednich powtórzono jeszcze 3 razy. W rezultacie otrzymano na okręgu 48 liczb. Ile wynosi ich suma?
a)162 b)1458 c)486 d)144 e)210

W tym pierwszym, to zauważ, że słowo "KANGAROO" ma osiem liter. Czyli najpierw zmazujesz parzyste i zostają z niego cztery litery (KNAO). Potem znów zmazujesz parzyste i zostają dwie (KA). Znów parzystą i zostaje K.

[ Dodano: 22 Marca 2008, 12:09 ]
W drugim, po każdej operacji suma jest 3 razy większa, co łatwo uzasadnić. Czyli po czwartej operacji suma wyniesie \(\displaystyle{ 6\cdot 3^4=486}\)

dzięki bardzo
i teraz dam z tymi możliwościami, których b.duzo bylo w juniorze 2006 Proszę o podanie jakiejś zasady

1) Pociąg składa się z lokomotywy i pięciu wagonów oznaczonych numerami: I, II, III, IV, V. Na ile sposobów można zestawić układ tego pociągu tak, aby wagon I był bliżej lokomotywy niż wagon II ?
a)120 b)60 c)48 d)30 e)10

2) Każdą ścianę sześciennej kostki do gry malujemy jednym z dwóch ustalonych kolorów (nie zamalowywując oczek). Ile różnych dwukolorowych kostek można w ten sposób otrzymać?
a)64 b)62 c)48 d)36 e)24

3) W spotkaniu piłkarskim drużyna gospodarzy objęła prowadzenie i nie straciła go do końca meczu. Mecz zakończył się zwycięstwem gospodarzy 5:4. Na ile sposobów mogły padać bramki w tym meczu?
a)17 b)13 c)20 d)14 e)9

Zadanie 1
Połowa wszystkich ustawień spełnia warunki. Czyli \(\displaystyle{ \frac{5!}{2}=60}\)

Zadanie 2
\(\displaystyle{ 2^6-2=62}\) (poprawione)

a krotkie wytlumaczenie, sposob, przypadek ogolny, mozna prosic ?

a i w drugim zadaniu weź poprawke ze pisze "dwukolorowych"

jeszcze o 3 bym prosil

W drugim jest napisane, że dwukolorowych, ale ja zawsze robię błędy z powodu niedoczytania...

W pierwszym równe szanse są na to, że I będzie przed drugim, jak na sytuację odwrotną. Czyli połowa przypadków spełnia pierwszy warunek, połowa drugi.

W drugim ścianki są rozróżnialne, czyli dla każdej na dwa sposoby wybierasz kolor. Ale odejmujesz dwa sposoby, kiedy kostka jest w jednym kolorze.