Matematyka.pl

Mam pytanie odnoście poniższej nierówności:

\(\displaystyle{ \left| \left| 2x-3\right|-4 \right|<1}\)

Po rozważeniu możliwych znaków pierwszej wartości bezwzględnej otrzymam:

\(\displaystyle{ \left| 2x-3\right| <5}\) oraz \(\displaystyle{ \left| 2x-3\right|>3}\)

I tutaj odpowiednio:

\(\displaystyle{ x<4}\), \(\displaystyle{ x>-1}\), \(\displaystyle{ x>3}\) oraz \(\displaystyle{ x<0}\)

Rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ x \in (-1,0) \cup (3,4)}\)

Moje pytanie: dlaczego?
Chodzi mi mówiąc dokładniej - zakładając, że nie jestem w stanie po prostu na logikę poskładać tych przedziałów - jakie spójniki logiczne są pomiędzy kolejnymi przypadkami równania?
Gdyby były to same \(\displaystyle{ \vee}\) to z choćby \(\displaystyle{ x>-1}\) i \(\displaystyle{ x<0}\) dostałbym całe \(\displaystyle{ R}\).
Z samych \(\displaystyle{ \wedge}\) dostałbym pusty zbiór, bo część wspólna z pierwszego rozwiązania:\(\displaystyle{ x<4}\) i \(\displaystyle{ x>-1}\) to zb. pusty i część wspólna pustego z czymkolwiek to pusty.

Bardzo bym prosił o pomoc w objaśnieniu w jaki sposób posługiwać się spójnikami, gdyby w razie cięższego przykłady - bez możliwości prostego sprawdzenia - jakoś sensownie to poskładać.

Pozdrawiam.

Spójniki trzeba zacząć zapisywać już od początku. Jeśli rozwiązujesz nierówność korzystając z twierdzenia, to:
\(\displaystyle{ |x|<a \Leftrightarrow x<a \wedge x>-a \Leftrightarrow \begin{cases} x<a \\ x>-a \end{cases} \\
|x|>a \Leftrightarrow x>a \vee x<-a}\)

Klamra zastępuje znak koniunkcji.

Czyli w naszym przypadku:
\(\displaystyle{ \left| \left| 2x-3\right| -4\right| <1 \Leftrightarrow \begin{cases} \left| 2x-3\right| <5 \\ \left| 2x-3\right| >3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2x-3<5 \\ 2x-3>-5 \\ 2x-3>3 \end{cases} \vee \begin{cases} 2x-3<5 \\ 2x-3>-5 \\ 2x-3<-3 \end{cases} \Leftrightarrow ...}\)

Wszystko jasne?

Ooo widzisz. Nazwij mnie głupcem, ale nie wiedziałem, że gdy \(\displaystyle{ |x| < ...}\) warunki wiążemy koniunkcją, a w przypadku \(\displaystyle{ |x| > ...}\) korzystamy z alternatyw. To mi wszystko bardzo ładnie uporządkowało .
Dziękuje!