Matematyka.pl

Witam.
Mam problem z wyznaczeniem dziedziny podanych niżej funkcji cyklometrycznych:

1) \(\displaystyle{ f(x)=\arcsin \frac{2}{2+ \sin x }}\)


2) \(\displaystyle{ f(x)=\arcsin \log _ {2} \frac{x-1}{2}}\)

Ja to robiłem tak:
1) założenia : \(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 2+ \sin x } \neq 0\\ \frac{2}{2+ \sin x } \in [-1,1] \end{array}}\)

Pierwsze założenie to tożsamość natomiast z drugim mam problem. Proszę o pomoc z góry dziękuje

Skoro doszedłeś do tego, że \(\displaystyle{ 2+\sin x\neq 0}\) to i pewnie doszedłeś do tego, że \(\displaystyle{ 2+\sin x>0}\) dla każdego \(\displaystyle{ x}\), co znacznie ułatwia rozwiązanie nierówności.

Prawdę mówiąc nie doszedłem do \(\displaystyle{ 2+\sin x>0}\) Mógłbyś mi pokazać jak do tego doszedłeś?

No a jak doszedłeś do tego, że \(\displaystyle{ 2+\sin x\neq 0}\) ?
\(\displaystyle{ \sin x\ge -1\Rightarrow 2+\sin x\ge 2-1=1>0}\).

\(\displaystyle{ 2+\sin x\neq 0}\) wyszło mi z tego , ze mianownik musi być różny od zera.

maksymalna wartosc dla funkcji sin x = 1

Byłbym wdzięczny jakby ktoś mi to jasno rozpisał.

pavka pisze:\(\displaystyle{ 2+\sin x\neq 0}\) wyszło mi z tego , ze mianownik musi być różny od zera.

Ja się nie pytam skąd ten warunek, tylko skąd wiesz że to tożsamość. I co zaś jest niejasnego?

Wydaje mi się , że to tożsamość gdyż sinx przyjmuje wartości w zbiorze [-1,1] zatem to wyrażenie jest spełnione dla każdego x. Dochodze do tego i nie wiem jak rozwiązać to drugie założenie.

pavka pisze:Wydaje mi się , że to tożsamość gdyż sinx przyjmuje wartości w zbiorze [-1,1].

No, więc właśnie z tego samego wynika, że to jest nie tylko \(\displaystyle{ \neq 0}\) ale i \(\displaystyle{ >0}\).

Dochodze do tego i nie wiem jak rozwiązać to drugie założenie.

Zapisz je tak, aby można było je przekształcać (w sensie jako dwie nierówności).

No nie mogę pojąć skąd \(\displaystyle{ sinx>0}\).

2 założenie rozpisuje tak:

\(\displaystyle{ \frac{2}{2+sinx} \ge -1 \ \ \wedge \frac{2}{2+sinx} \le 1}\)

pavka pisze:No nie mogę pojąć skąd \(\displaystyle{ sinx>0}\).

Ja też nie. Skąd to?

Przepraszam. Oczywiście , ze \(\displaystyle{ 2+snix>0}\)

Proszę o szybką pomoc.