Matematyka.pl

Witam.
Mam problem z badaniem różnowartościowości takich funkcji jak:
\(\displaystyle{ e^{x} - e^{-x}}\)
albo
\(\displaystyle{ x^{3}+x-1}\)
W pewnym momencie zawsze tracę wątek. Przykładowo:

\(\displaystyle{ Zakladam \ ze \ x_{1} \neq x_{2}. \\
Chce \ udowodnic, \ ze \ f(x_{1}) \neq f(x_2) \\
x_{1}^{3}+x_{1}-1 \neq x_{2}^{3}+x_{2}-1 \\
x_{1}^{3}+x_{1}-1 - (x_{2}^{3}+x_{2}-1) \neq 0 \\
x_{1}^{3}-x_{2}^{3}+x_{1}-x_{2} \neq 0 \\
(x_{1}-x_{2})(x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}) +x_{1}-x_{2} \neq 0 \\
(x_{1}-x_{2})^{2}(x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}) \neq 0}\)
I co teraz? Wiem, że pierwszy czynnik:
\(\displaystyle{ (x_{1}-x_{2})^{2}}\)
Na pewno jest większy niż zero.

Jak mogę udowodnić, że:
\(\displaystyle{ (x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}+x_{2}^{2})}\)
się nie wyzeruje?

A w przypadku funkcji wykładniczych, czy exp() to w ogóle dziwne rzeczy potem wychodzą.

sasquatch1988 pisze: Jak mogę udowodnić, że:
\(\displaystyle{ (x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}+x_{2}^{2})}\)
się nie wyzeruje?

Bo leży pomiędzy kwadratem sumy a kwadratem różnicy x-ów, więc jest dodatni.

Dziękuje .

W 1. to możesz albo z definicji albo przy pomocy pochodnych pokazać, że ta funkcja jest ściśle rosnąca.