Matematyka.pl

Witam serdecznie, mam problem z dwoma zadaniami z równań różniczkowych:

1) Rozwiązanie równania różniczkowego \(\displaystyle{ x'(t)=-2x(t)+3sin(5t)}\), gdzie \(\displaystyle{ x(0)=7}\) i \(\displaystyle{ t\ge 0}\), ma postać \(\displaystyle{ x(t)=ae^{-2t}+Asin(5t+\phi)}\). Oblicz \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ \phi}\)


2) Dane jest równanie różniczkowe \(\displaystyle{ x'(t)=-x(t)+u(t)}\), gdzie \(\displaystyle{ x(0)=0}\) i \(\displaystyle{ t\ge 0}\), zaś sterowanie ma postać sygnału PWM o amplitudzie 10, okresie 1 s i współczynniku wypełnienia \(\displaystyle{ \phi\in (0, 1]}\), tzn. \(\displaystyle{ u(t)=egin{cases} 10;dla;tin[n, n+phi)\0;dla;tin (n+phi, n+1)end{cases}}\). Wiedząc że \(\displaystyle{ x(3)=2}\), oblicz \(\displaystyle{ \phi}\)

Zadania można rozwiązać metodą operatorową Laplace'a.
Mam w związku z tym pytanie. Czy znasz tą metodę?

Niestety nie, mógłbyś ją przedstawić?

Najogólniej metoda operatorowa Laplace'a polega na przekształceniu równania różniczkowego wraz z warunkami początkowymi na postać równania algebraicznego. Podstawowym twierdzeniem jakie stosujemy, przekształcając równanie różniczkowe, jest twierdzenie o pochodnej funkcji.
Następnie po uporządkowaniu tego równania stosujemy tablice transformat odwrotnych Laplace'a i otrzymujemy gotowe rozwiązanie, czyli funkcję x(t).
Warto nauczyć się przekształceń Laplace'a. Na tej stronie jest wiele rozwiązanych zadań.
Spróbuj rozwiązać pierwsze równanie. Jeśli je rozwiążesz, to w drugim zadaniu Ci pomogę, jest trudniejsze.
Pozdrawiam