Matematyka.pl

\(\displaystyle{ a _{2} = 4}\)
\(\displaystyle{ a _{3} = 7}\)
\(\displaystyle{ a _{4} = 11}\)
\(\displaystyle{ a _{5} = 16}\)
\(\displaystyle{ a _{6} = 22}\)
\(\displaystyle{ a _{7} = 29}\)

wzór rekurencyjny jest
\(\displaystyle{ a _{1} = 2}\)
\(\displaystyle{ a _{n+1} = a _{n} + n +1}\)

Żeby wyznaczyć wzór w zależności od n to trzeba zgadywać, czy jest może jakaś metoda?

Licząc kolejne różnice pomiędzy wyrazami, a potem różnice pomiędzy tymi różnicami, aż dojdziemy do ciągu stałego. Jeśli taka sytuacja nastąpi, to wzorem ogólnym ciągu jest wielomian, o stopniu równym liczbie "poziomów" rozpisanych ciągów.

Ilustracja dla tego przykładu:

2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, ... - wyrazy ciągu
2, 3, 4, 5, 6, 7, ... - pierwszy ciąg różnic (4-2=2, 7-4=3, itd.)
1, 1, 1, 1, 1, ... - drugi ciąg różnic

Wynika stąd, że ciąg będzie miał wzór ogólny: \(\displaystyle{ a_n=an^2+bn+c}\)

Teraz układamy 3 równania z 3 niewiadomymi \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ b}\), \(\displaystyle{ c}\):

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_1 = 2 \\ a_2=4 \\ a_3 = 7 \end{cases}}\)

czyli:

\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b+c=2 \\ 4a + 2b + c = 4 \\ 9a + 3b + c = 7 \end{cases}}\)

Rozwiązując ten układ dostajemy wzór ogólny na nasz ciąg:

\(\displaystyle{ a_n = \frac{n^2}{2} + \frac{n}{2} + 1}\)

Ten algorytm ma jakąś nazwę?

Szczerze mówiąc nie wiem... Ja przypominam go sobie, kiedy, będąc jeszcze licealistą, znalazłem go w książce "Czym zajmuje się teoria liczb" Sierpińskiego:


Nie wiem, czy łatwo będzie znaleźć tę książkę, ale było w niej sporo różnych fajnych pomysłów opisanych.

Chciałbym odświeżyć troche temat.
Od razu zaznaczam, że nie udało mi się zdobyć nigdzie ksiązki opisanej w poście powyżej.

W moim przykładzie wygląda to tak:

\(\displaystyle{ a_{2}=5}\)
\(\displaystyle{ a_{3}=15}\)
\(\displaystyle{ a_{4}=37}\)
\(\displaystyle{ a_{5}=83}\)
\(\displaystyle{ a_{6}=177}\)

wzór rekurencyjny:
\(\displaystyle{ a_{1}=1}\)
\(\displaystyle{ a_{n+1}= 2a_{n}+2n-1}\)

1,5,15,37,83,177, ... - wyrazy ciągu
4,10,22,46,94,190, ... - pierwszy ciąg różnic
6,12,24,48,96, ... - drugi ciąg różnic
6,12,24,48, ... - trzeci ciąg różnic

itd

Z pewnego nieopisanego źródła wiem, że ciąg będzie miał wzór ogolny: \(\displaystyle{ a_{n}= a2^{n}+bn+c}\)

Po wyliczeniu układu równań wychodzi

\(\displaystyle{ a=3}\)

\(\displaystyle{ b=-2}\)

\(\displaystyle{ c=-3}\)

czyli \(\displaystyle{ a_{n}=3 \cdot 2^{n}-2n-3}\)

i faktycznie się zgadza, przykład:
\(\displaystyle{ a_{4}=3 \cdot 2^{4}-2 \cdot 4-3= 48 - 11 = 37}\)

Moje pytanie brzmi, skąd wiadomo, że ten wzór ogólny powinien mieć taka postać?