Matematyka.pl

Prosze o pomoc, nie moge sobie z tym kompletnie poradzic ;/

przedstawic liczby w postaci trygonometrycznej i wykladniczej:
a) \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{2} } - \frac{1}{ \sqrt{2} } i}\)
b) \(\displaystyle{ 2i (1-i)}\)
c) \(\displaystyle{ i^2}\)
d) \(\displaystyle{ \frac{1-i}{1+i}}\)
e) \(\displaystyle{ (- \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2} i)^2}\)
f) \(\displaystyle{ (1+i \sqrt{3} )2i}\)
g) \(\displaystyle{ sin \alpha +i cos \alpha}\)
h) \(\displaystyle{ - cos \alpha +i sin \alpha}\)
i) \(\displaystyle{ 1+i tg \alpha}\)

wkonac dzialania stosujac wzor de Moivre'a
a) \(\displaystyle{ (1+i)^{10} -(1+i)^6}\)
b) \(\displaystyle{ \frac{(1+i \sqrt{3} )^8}{(-1-i)^5}}\)
c) \(\displaystyle{ (- \frac{1}{2} +i \frac{ \sqrt{3} }{2} )^{12}}\)
d) \(\displaystyle{ ( \frac{(1-i \sqrt{3)^5} }{ \sqrt{3} +i} )^4}\)

Kompletnie czyli...? Nic a nic? Wiesz chociaż, jak te postaci wyglądają? Jeśli tak - napisz.
Wzór de moivre'a też powinnaś znać

przyklad a) wlasnie zrobilam. ale reszty nie mam piojecia jak sie robi potegowanie. wzor znam
nie wiem jak w przykladzie b) wstawic to do wzoru, nie wspominajac juz o reszcie

OK, to może zacznijmy od pierwszego przykładu. Najpierw musisz zamienić liczby zespolone na postaci trygonometryczne:
\(\displaystyle{ 1+i = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{pi}{4} \right)}\)
No a teraz po prostu stosujemy wzór de Moivre'a:
\(\displaystyle{ (1+i)^{10} = \left( \sqrt{2}\right)^{10} \left( \cos \frac{10 \pi}{4} + i \sin \frac{10 pi}{4} \right) =\\= 32 \left( \cos \left( 2 \pi + \frac{\pi}{2} \right) + i \sin \left( 2 \pi + \frac{\pi}{2} \right) \right) = 32 (0+i) = 32i}\)