Matematyka.pl

Rozważmy zbiór struktur zespolonych na \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\), tj. takich macierzy \(\displaystyle{ J}\) wymiaru 2, że \(\displaystyle{ J^2 = -I}\).

Czy zbiór tych macierzy (jako podzbiór \(\displaystyle{ \mathbb{R}^4}\)) jest gładką rozmaitością? Jaka jest jego topologia?

(Za uogólnienie do \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{2n}}\) będę również wdzięczny!)

Próbowałeś sprawdzić punkty krytyczne odpowiedniego przekształcenia gładkiego?

Pracuję w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\). Równanie \(\displaystyle{ J^2 = -I}\) rozwija się jako:

\(\displaystyle{ \begin{cases}
a^2 + bc = -1 \\
ab+bd = 0 \\
ac+cd = 0 \\
cb+d^2 = -1 \\
\end{cases}}\)

Co po krótkich przekształceniach sprowadza się do:

\(\displaystyle{ \begin{cases}
a = -d \\
det(J) = -1 \\
\end{cases}}\)

Proszę o wskazówki, co powinienem zrobić dalej. (Domyślam się, że potrzebne będzie mi twierdzenie o funkcji uwikłanej?)

Twierdzenie o funkcji uwikłanej to dokładnie te rejony, ale samego twierdzenia tu nie potrzeba.

Technika zazwyczaj jest następująca.

Definiujesz gładką funkcję z jednej rozmaitości w drugą: \(\displaystyle{ F:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4}\) wzorem: \(\displaystyle{ F(J)=J^2+I}\), czyli u nas będzie to dokładnie:

\(\displaystyle{ F(a,b,c,d)=(a^2+bc+1,ab+bd,ac+cd,cb+d^2+1)}\).

Zauważ, że nas interesuje przeciwobraz punktu \(\displaystyle{ (0,0,0,0)}\), czyli \(\displaystyle{ F^{-1}(0,0,0,0)}\).

Istnieje twierdzenie mówiące, że przeciwobraz wartości regularnej jest podrozmaitością w dziedzinie. Wartość regularna to taka wartość, której każdy punkt przeciwobrazu jest regularny tzn. różniczka funkcji \(\displaystyle{ F}\) w tym punkcie jest przekształceniem liniowym surjektywnym. Czyli my musimy sprawdzić, czy \(\displaystyle{ (0,0,0,0)}\) jest wartością regularną.

Generalnie trochę liczenia Cię tu czeka.

Prosty przykład definiowania podrozmaitości przez równania masz tutaj: 239071.htm#p891379

Sporo informacji możesz znaleźć w książce Lee, Introduction to smooth manifolds (w rozdziale o tytule Level sets).

Pomysł:
Jeśli utożsamimy \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\) z ogółem macierzy postaci
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}a & b \\ -b & a\end{bmatrix}, \ a,b\in \mathbb{R}}\)
to otrzymamy kanoniczne utożsamienie grupy Liego \(\displaystyle{ GL_{n}(\mathbb{C})}\) z podgrupą domkniętą \(\displaystyle{ GL_{2n}(\mathbb{R})}\).
Wówczas rozpatrywany zbiór (w ogólnej wersji problemu) jest przestrzenią jednorodną \(\displaystyle{ GL_{2n}(\mathbb{R})/GL_{n}(\mathbb{C})}\) (rozpatrujemy (przechodnie) działanie \(\displaystyle{ GL_{2n}(\mathbb{R})}\) na zbiorze struktur zespolonych poprzez sprzężenia; \(\displaystyle{ GL_{n}(\mathbb{C})}\) to dokładnie te macierze, które działają trywialnie), w szczególności rozmaitością różniczkową.
Pozostaje uzasadnić, że struktura rozmaitości otrzymana poprzez działanie grupy Liego zgadza się ze strukturą \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{4n^{2}}}\).