Matematyka.pl

Zbadac ekstremum funkcji:

\(\displaystyle{ F\left(x,y\right)=e ^{x-y}\left(x ^{2}-2y ^{2} \right)}\)

wiec robie pochodna I rzedu:

\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x}= \left(e ^{x-y}\right)\left(x ^{2}-2y ^{2}\right) +e ^{x-y} \left(2x\right)}\)

Tu rodzi sie pytanie- co z pierwsza pochodna czastkową?

dobrze ja mam?

Niestety nie wiem co sie robi gdy jest:

\(\displaystyle{ e ^{x-y}}\)

\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x}}\) - poprawnie.

Oblicz \(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial y}}\)

czyli mam tak:

\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x}=e ^{x-y}\left(x ^{2}-2y ^{2}+2x \right)}\)

\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial y}=-e ^{x-y}\left(x ^{2} - 2y^{2}\right)+e ^{x-y} \left(-4y\right)= e ^{x-y}\left(-x ^{2}+2y ^{2}-4y\right)}\)

dziele to przez \(\displaystyle{ e ^{x-y}}\)

\(\displaystyle{ \left(x ^{2}-2y ^{2}+2x \right)=0}\)

\(\displaystyle{ \left(-x ^{2}+2y^{2}-4y\right)=0}\)

jak z takiego równania mam teraz zdobyc punkty stacjonarne, jak są same niewiadome...

dodaj równania stronami

tak zrobilam wychodzi mi:

\(\displaystyle{ x= 2y}\)

podstawiam do pierwszego:

\(\displaystyle{ 2y ^{2}- 2y ^{2}+ 4y=0}\)

\(\displaystyle{ y=0}\)

czyli \(\displaystyle{ x=0}\)
no ale to mi nic nie daje bo mam tylko \(\displaystyle{ P _{1}}\)

\(\displaystyle{ x=2y}\)

ile wynosi \(\displaystyle{ x^2}\)?

\(\displaystyle{ 4y ^{2}- 2y ^{2}+ 4y= 2y ^{2}+ 4y}\)

czyli

\(\displaystyle{ 2y\left( y+2\right)=0}\)

\(\displaystyle{ y _{1}=0}\)
\(\displaystyle{ y _{2}= -2}\)

zgadza się, na tej podstawie wyznacz współrzędne punktów stacjonarnych

czyli
\(\displaystyle{ P _{1}= \left( 0,0\right)\\P _{2}=\left( -4,-2\right)}\)

brakuje jednego punktu; przedstaw dokładniejsze obliczenia

\(\displaystyle{ x= 2y}\)

\(\displaystyle{ 2 \cdot 0= 0}\)

\(\displaystyle{ x _{1}= 0}\)

\(\displaystyle{ 2 \cdot \left( -2\right) = -4}\)

\(\displaystyle{ x _{2} = -4}\)

\(\displaystyle{ y=0}\) oraz \(\displaystyle{ y=-2}\) należy podstawić do pierwotnego równania, nie do tego powstałego po dodaniu stronami

Czyli \(\displaystyle{ x=4}\) albo \(\displaystyle{ x=-4}\)-- 11 paź 2011, o 11:37 --czyli są trzy mozliwości \(\displaystyle{ x}\) a \(\displaystyle{ y}\) dwie, co sie robi w takim przypadku?

jeśli dla współrzędnej \(\displaystyle{ y=-2}\) równanie ma dwa rozwiązania \(\displaystyle{ x_1,x_2}\), odpowiednie punkty mają współrzędne \(\displaystyle{ A_1=(x_1,-2),\ A_2=(x_2,-2)}\)