Poteoretyzujmy:
Definicje Cauchy'ego:
-granicy funkcji w punkcie:
\(\displaystyle{ \lim\limits_{x \to x_{0}} f(x) = A \ \Leftrightarrow \ \left(\forall_{\epsilon > 0} \ \exists_{\delta > 0} \ \forall_{x \neq x_{0}} \
\left(|x - x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-A|<\epsilon \right) \right)}\)
-ciągłości funkcji w punkcie:
Funkcja
\(\displaystyle{ f(x)}\) jest ciągła w punkcie
\(\displaystyle{ x_{0}}\) wtw
\(\displaystyle{ \forall_{\epsilon > 0} \ \exists_{\delta > 0} \ \forall_{x \neq x_{0}} \
\left(|x - x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\epsilon\right) }\)
Załóżmy, że do dziedziny funkcji
\(\displaystyle{ f(x)}\) należy taki punkt
\(\displaystyle{ x_{0}}\), że w pewnym jego otoczeniu nie istnieje różny od niego punkt należący do dziedziny tej funkcji.
(Innymi słowy istnieje takie
\(\displaystyle{ \delta' > 0}\), że w przedziale
\(\displaystyle{ (x_{0} - \delta', x_{0} + \delta')}\) jedyną liczbą należącą do dziedziny funkcji
\(\displaystyle{ f}\) jest
\(\displaystyle{ x_{0}}\)).
Załóżmy, że wtedy nie istnieje granica funkcji w punkcie
\(\displaystyle{ x_{0}}\), lub, że funkcja nie jest w tym punkcie ciągła.
Z założenia tego, korzystając z przytoczonych definicji Cauchy'ego, otrzymujemy odpowiednio:
(nie istnieje granica w punkcie
\(\displaystyle{ x_{0}}\) 
\(\displaystyle{ \forall_{A \in \mathbb{R}} \ \exists_{\epsilon > 0} \ \forall_{\delta > 0} \ \exists_{x \neq x_{0}} \
\left(|x - x_{0}|<\delta \land|f(x)-A|\ge\epsilon \right) }\)
lub
(funkcja nie jest ciągła w punkcie
\(\displaystyle{ x_{0}}\)
\(\displaystyle{ \exists_{\epsilon > 0} \ \forall_{\delta > 0} \ \exists_{x \neq x_{0}} \
\left(|x - x_{0}|<\delta \land |f(x)-f(x_0)|\ge\epsilon\right) }\)
Ale gdy przyjmiemy
\(\displaystyle{ \delta = \delta'}\) i sprawdzimy wartość logiczną powyższych 2 zdań to okaże się, że każde z nich jest fałszywe (bo niezależnie od
\(\displaystyle{ \epsilon}\), nie istnieje takie
\(\displaystyle{ x \neq x_{0}}\), że
\(\displaystyle{ |x - x_{0}| }\)).
Stąd fałszywym było zarówno założenie o nieistnieniu granicy funkcji
\(\displaystyle{ f}\) w punkcie
\(\displaystyle{ x_{0}}\), jak i założenie o nieciągłośći funkcji
\(\displaystyle{ f}\) w punkcie
\(\displaystyle{ x_{0}}\).
Jeśli punktem izolowanym zbioru
\(\displaystyle{ X \subseteq \mathbb{R}}\) nazywać będziemy każdy taki punkt
\(\displaystyle{ x \in X}\), że istnieje takie sąsiedztwo tego punktu, do którego nie należy żaden element zbioru
\(\displaystyle{ X}\), to z powyższych rozważań wynika, że:
Funkcja \(\displaystyle{ f: X \rightarrow Y, \ \ X, Y \subseteq \mathbb{R}}\) jest ciągła w każdym punkcie izolowanym swojej dziedziny.
Ale z tego twierdzenia wynika bezpośrednio, że każdy ciąg jest funkcją ciągłą w każdym punkcie swojej dziedziny, w szczególności funkcja 'silnia' jest funkcją ciągłą w każdym punkcie swej dziedziny.
A że może się to kłócić z intuicyjnym pojęciem ciągłości, to już jakby inna sprawa...
[ Dodano: 19 Styczeń 2007, 15:30 ]
A wracając do pochodnej - pojęcie pochodnej funkcji w punkcie odnosi się do punktów skupienia dziedziny tej funkcji, a ponieważ zbiór liczb naturalnych nie posiada punktów skupienia należących do tego zbioru - to i nie istnieje punkt, w którym silnia byłaby różniczkowalna.