Matematyka.pl

Wyznaczyć..o ile istnieją- wszystkie takie x, p, iż ma miejsce równanie poniżej, przy czym x jest l. naturalną, zaś p pierwsza...:..spróbowac uogólnić problem
\(\displaystyle{ x^p-p^3= 1}\)

Nie wiem, czy dobrze myślę, ale robił bym to tak
\(\displaystyle{ x^{p}\equiv{x}\equiv{1} (mod p)}\), stąd:
\(\displaystyle{ x=p+1}\), więc jedynym rozwiązaniem są x=3,p=2.

x^p-1=p^3
(x-1)(x^p-1 +x^p-2 +... +1)=p^3
czyli:
x-1=p lub x-1=1 x-1=p^2

x=p+1 lub x=2 lub x=p^2+1
po podstawieniu ostatniej równości otrzymamy:
(p^2+1)^p=p^3+1 ale sprzecznośc ponieważ 1 strona jest zdecydowanie większa
gdy x=2 mamy:
2^p-p^3=1 od p>=10 2^p>p^3 więcej niż 1 a dla mniejszych niż 10
też równośc nie zachodzi,
dla x=p+1 łatwo sprzwdzi że równość też nie zachodzi buuuuu

[ Dodano: 17 Styczeń 2007, 22:38 ]
sorki oczywiście przeoczyłem x=3 p=2

\(\displaystyle{ x=kp+1}\) ?

tak, dokonałem "skrótu myślowego" , chodzi o to, że lewa \(\displaystyle{ x^{p}}\) szybko rośnie. Bo to generalnie byl szkic rozw. raczej mało formalny z wieloma skrótami myślowymi.