Matematyka.pl

Witam jeśli ktoś mógłby mi pomóc będę wdzięczny
Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n>1 i m>1 liczba (m+1)^n - 1 jest podzielna przez m.

i jeszcze jedno
Udowodnij że jeśli dla liczby naturalnej k liczba 3^2k +8(k - 1) jest podzielna przez 8, to liczba 3^2(k+1) + 8k też jest podzielna przez 8. czy z tego wynika że każda liczba postaci 3^2n +8(n-1) jest podzielna przez 8??

A)
1/ Sprawdzamy czy wlasnosc zachodzi dla n=1:
(m+1)^1 - 1 = m
Tym samym m dzieli (m+1)^n dla n = 1

2/ Wykazemy slusznosc implikacji :
m | (m+1)^n - 1 => m | (m+1)^(n+1) - 1

Wystarczy Zauwazyc ze :
m | (m+1)^(n+1) - 1
m | (m+1)*(m+1)^n - 1
m | m*(m+1)^n + (m+1)^n - 1
m | (m+1)^n - 1

B) Niestety wystarczy ze wybierzesz k = 1 i 3^2k +8(k - 1) nie dzieli sie przez 8...

Moze w B) mialo byc 2^(3k)???

misiek pisze:Udowodnij że jeśli dla liczby naturalnej k liczba 3^2k +8(k - 1) jest podzielna przez 8, to liczba 3^2(k+1) + 8k też jest podzielna przez 8. czy z tego wynika że każda liczba postaci 3^2n +8(n-1) jest podzielna przez 8??

Proszę zauważyć, że to zdanie ma postać
(p =>q)=>s
Ponieważ p jest fałszywe implikcja p=>q jest prawdziwa, natomiast całe zdanie jest fałszywe.

Co więcej to się daje udowodnić :
Zalożenie : 3^(2k) +8(k - 1) jest podzielne prez 8
Teza : 3^2(k+1) + 8k też się dzieli przez 8
--------
Dw:
3^2(k+1) + 8k = 3^(2k+2) + 8k= 9*3^(2k) + 72(k-1) - 72(k-1) + 8k =
= 9*[3^(2k)+8(k-1)] + 8[9(k-1) +k]
ponieważ z założenia 3^2k +8(k - 1) dzieli się przez 8, to całość dzieli się przez 8.


Ale do dowodu indukcyjnego spełnione muszą być dwa warunki
1. Twirdzenie T na zachodzić dla jakieś liczby początkowej p, T(p)
2. "przechodniość" T(k)==>T(k+1)
to z 1. i 2. ==> dla każdego n>=p zachodzi T(n)

W naszym przypadku nie zachodzi 1. warunek.