Matematyka.pl

Witam:) Mam takie oto zadanko
Do klubu golfowego należy mężczyzn i kobiet. Członkowie klubu wybierają przewodniczącego, wiceprzewodniczącego i sekretarza. Na ile sposobów mogą dokonać wyboru, jeśli ma być wybrana przynajmniej jedna kobieta?

I nie wiem gdzie jest błąd w moim sposobie rozwiazywania..

Otóż: Musimy wybrac jedną kobietę. czyli jeden z wyborów MUSI byc z \(\displaystyle{ 10}\).
Pozostałe osoby wybieramy z \(\displaystyle{ 29}\) pozostałych, płci nie rozrózniamy, dwie kolejne osoby moga byc kobietami lub facetami. Czyli \(\displaystyle{ 10\cdot 29\cdot 28}\) . No i dane podzbiory mogą w sobie permutowac, czyli
\(\displaystyle{ 10\cdot 29\cdot 28\cdot 3!}\).
W ktorym miejscu się mylę?
z góry dzieki za odpowiedź, pozdrawiam

Domyślam się, że jest 20 mężczyzn i 10 kobiet.

Najłatwiej skorzystać ze zdarzenia przeciwnego tzn. A': wybrano samych mężczyzn i odjąć od wszystkich możliwych wyborów.

W ktorym miejscu się mylę?

Mylisz się w kilku miejscach:

1) jeżeli mamy w zadaniu co najmniej x, to nie można wybrać x a następnie reszty z wszystkich pozostałych elementów.
Gdy tak robisz to liczysz wielokrotnie te same "zestawy". Np. możesz wybrać K3 (kobietę nr 3) a następnie M2 i K7, ale zauważ, że to jest taki sam wybór jeżeli najpierw wybierzesz K7 a następnie K3 i M2

2) pomijając nawet uwagi z punktu 1) to jeżeli wybierasz kolejne elementy i ilość wyborów liczysz jako iloczyn ilości wyborów każdego z elementów, to nie możesz później jeszcze uwzględniać permutacji tych elementów.
Jeżeli przykładowo masz wybrać 3 elementy spośród 17 i ważna jest ich kolejność, to albo liczysz kombinacje i mnożysz przez permutację wybranych elementów: \(\displaystyle{ C^{3}_{17} \cdot P_{3}}\), albo liczysz od razu wariację bez powtórzeń: \(\displaystyle{ V^{3}_{17}}\), albo korzystasz z twierdzenia o mnożeniu: \(\displaystyle{ 17 \cdot 16 \cdot 15}\).

Wydaje mi się ze pierwsza uwaga w kontekscie zadania nie jest trafiona, wybranie tych samych ludzi w innej kolejnosci to ,,nowy zestaw".
W 2) wszystko rozumiem. Bez tej \(\displaystyle{ 3!}\) czyli samo \(\displaystyle{ 29\cdot 28\cdot 10}\) wynik jest ponad dwa razy mniejszy niż poprawny. Jakich przykładowo kombinacji nie liczy ten mój ,,sposób" ??
Wydaje mi się że nie liczy tego że np zakładając że na którejś posadzie wybieramy z 10 kobiet, co zmniejsza ilośc kombinacji, a robiąc tak że na kazdym może byc dziesięc zwiększamy niepoprawnie o ilośc powielająch się możliwości. tak?
z góry dzięki za odpowiedź!:)

dociekliwypacan pisze:Wydaje mi się ze pierwsza uwaga w kontekscie zadania nie jest trafiona, wybranie tych samych ludzi w innej kolejnosci to ,,nowy zestaw".

Wszystko zależy od sposobu liczenia. Uwaga 1) była w kontekście takiej sekwencji wyboru (jako jednej z poprawnych):

A) Wybór 3 osób + uporządkowanie tych osób.

Wówczas musisz obliczyć (korzystając z kombinacji) wybór "zestawów" z przynajmniej jedną kobietą:

1K+2M lub 2K+1M lub 3K

i pomnożyć przez ich uporządkowanie, czyli 3!, czyli będzie tak:

\(\displaystyle{ \left( C^{1}_{10} \cdot C^{2}_{20}+ C^{2}_{10} \cdot C^{1}_{20}+ C^{3}_{10} \right) \cdot 3!}\)

B) Jeżeli natomiast chcesz przyjąć taką sekwencję liczenia (jaką sugerujesz w rozwiązaniu), że wybierane osoby od razu stanowią ciąg (a nie zbiór), to oczywiście inna kolejność to inny "zestaw". Jeżeli jednak kolejność miałaby być uwzględniona podczas losowania i otrzymany wynik to ciąg (przewodniczący, zastępca, sekretarz), to nie możesz napisać takiego iloczynu jak proponujesz, bo np. iloczyn \(\displaystyle{ 10 \cdot 29 \cdot 28}\) oznacza:

Wybór przewodniczącego spośród 10 (czyli kobiet) – wybór zastępcy spośród pozostałych 29 osób – wybór sekretarza spośród pozostałych 28 osób.

Licząc tak nie uwzględniasz przypadków, w których przewodniczącym jest mężczyzna (dyskryminacja totalna )

Dalsza droga w tym kierunku to droga donikąd. Jeżeli chciałbyś np. dodać te przypadki, gdzie pierwszą wybraną osobą (czyli przewodniczącym) jest mężczyzna, to spośród jakiej grupy wybierać dwie pozostałe? Spośród wszystkich? Nie bardzo, bo można wybrać samych mężczyzn. Jeżeli spośród kobiet, to którą osobę, drugą czy trzecią? A może obydwie? Jeżeli drugą, to znów nie uwzględniasz sytuacji, że zarówno przewodniczący jak i zastępca to mężczyźni. Jak widzisz ten sposób, to ślepa uliczka.

Oczywiście pozostaje sposób najprostszy:

C) Wszystkich możliwości wyboru z uwzględnieniem kolejności jest \(\displaystyle{ 30 \cdot 29 \cdot 28}\). Jeżeli od tego odejmiemy te zestawy w których są sami mężczyźni, czyli \(\displaystyle{ 20 \cdot 19 \cdot 18}\), to zostaną nam zestawy w których jest co najmniej jedna kobieta.

Widzisz więc, że albo można to policzyć wg sposobu A), albo wg sposobu C) (korzystając z definicji zdarzenia przeciwnego) natomiast sposób B) jest kompletnie niepraktyczny.

Bardzo dziękuje, za BARDZO wyczerpującą odpowiedź.
pozdrawiam!