Matematyka.pl

Udowodnić nierówność Minkowskiego korzystając z nierówność Schwarza.

Nierówność Schwarza mam w takiej postaci:

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}x_{i} y_{i}\le\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}} \cdot \sqrt{\sum_{i=1}^{n}y_{i}^{2}}}\)

A nierówność Minkowskiego w takiej:

\(\displaystyle{ \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}\le\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}+\sqrt{\sum_{i=1}^{n}y_{i}^{2}}}\)

Dowód:

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}=\sum_{i=1}^{n}(x_{i}^{2}-2x_{i}y_{i}+y_{i}^{2})=
\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}-2\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}+\sum_{i=1}^{n}y_{i}^{2}\le \\
\le \sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}-2\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}} \cdot
\sqrt{\sum_{i=1}^{n}y_{i}^{2}}+\sum_{i=1}^{n}y_{i}^{2}=\left(\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}} - \sqrt{\sum_{i=1}^{n}y_{i}^{2}}\right)^2 \le \\
\le \left(\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}} + \sqrt{\sum_{i=1}^{n}y_{i}^{2}}\right)^2}\)

Czy to jest dobrze? Najbardziej jestem niepewna tej ostatniej nierówności.

ostatnia nierówność jest OK: \(\displaystyle{ a+b\geq a-b}\) dla \(\displaystyle{ a,b}\) nieujemnych.

problem stanowi przedostatnie szacowanie: wykorzystujesz nierówność Schwartza po pomnożeniu jej obu stron przez \(\displaystyle{ -1}\), a więc i znak nierówności się zmieni.

Więc co z tym teraz zrobić?

A czy przypadkiem w treści nie powinno być \(\displaystyle{ \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}+y_{i})^{2}}}\) zamiast \(\displaystyle{ \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}\) ?

gosia19, nierówność pomiędzy pierwszą a drugą linijką dowodu jest w złą stronę.

azonips pisze: wykorzystujesz nierówność Schwartza

Schwartz i Schwarz to dwaj różni matematycy.

ares41 pisze:A czy przypadkiem w treści nie powinno być \(\displaystyle{ \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}+y_{i})^{2}}}\) zamiast \(\displaystyle{ \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}\) ?

To na jedno wychodzi (podstawienie \(\displaystyle{ y:=-y}\)). Ale faktycznie jak będzie z plusem, to pierwsza nierówność będzie w dobrą stronę i dalej też chyba nie będzie problemów.

Tam na pewno ma być minus. Z plusem to ja wiem, że oczywiście problemu nie będzie, ale właśnie co z tym minusem?

Jeśli w nierówności Schwarza podstawisz \(\displaystyle{ -y}\) zamiast \(\displaystyle{ y}\), to dostaniesz nierówność
\(\displaystyle{ -\sum_{i=1}^{n}x_{i} y_{i}\le\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}} \cdot \sqrt{\sum_{i=1}^{n}y_{i}^{2}}.}\)

Skorzystaj z niej w dowodzie.