Matematyka.pl

Witam...otóż zrobiłam zadanie swoim sposobem. Na lekcji okazał się on błędny mimo dobrego wyniku. Więc jest to ten przykład pewnego zadania:
\(\displaystyle{ log_{(2x-5)} 16 = 2}\)
No i stanęłam w następnej linijce
\(\displaystyle{ (2x-5)^{2} = 16}\) <- i są 2 wyjścia z tej sytuacji. Osobiście użyłam pierwiastka po obydwóch stronach co dało: \(\displaystyle{ 2x- 5 = 4}\) i ostatecznie \(\displaystyle{ x= 4 \frac{1}{2}}\). Było dobrze, nawet w podręczniku był ten wynik. Ale nauczycielka rzekła inaczej twierdząc że tak nie można robić.....
Obliczyła ten przykład korzystając z funkcji kwadratowej ale wyszły jej dwa wyniki: \(\displaystyle{ 4 \frac{1}{2} i\frac{1}{2}}\). Przypominam że w podręczniku nic o tym drugim wyniku nie ma. Zatem to ona się myliła czy ja jak i podręcznik? Albo czy nie można wykonać tego działania w mój sposób, bo zawsze muszą być 2 wyniki?

Twoja metoda jest zła. Nie wolno Ci pierwiastkować w ten sposób, bo możesz stracić wynik.
Metoda Twojej Pani jest dobra.
Na początku zadania należy zrobić założenia.
\(\displaystyle{ \log_{2x-5}16 = 2}\)

Założenia:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x-5 \neq 1 \\ 2x - 5 > 0 \end{cases}}\)

Z tego mamy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x \neq 3 \\ x > \frac{5}{2} \end{cases}}\)
Co oznacza że mając wyniki:
\(\displaystyle{ x = 4 \frac{1}{2} \vee x = \frac{1}{2}}\)
Tylko jeden wynik spełnia nasze założenia i jest to:
\(\displaystyle{ x = 4 \frac{1}{2}}\)


Więcej na temat funkcji logarytmicznej oraz założeń jakie trzeba robić i rozwiązywanie zadań :
page.php?p=kompendium-funkcje-wykladnicze-i-logarytmiczne
(od połowy strony mniej więcej)
Pozdrawiam.

A dziękuję (; Tylko tych założeń brakowało, ale teraz będę pamiętać.

Zauważ, że przykładowo równanie \(\displaystyle{ x^2=16}\) ma dwa rozwiązania, a nie jak wg. Ciebie jedno, w tym są to \(\displaystyle{ x=4}\) i \(\displaystyle{ x=-4}\)!

\(\displaystyle{ (2x-5)^{2} = 16}\)

\(\displaystyle{ (2x-5)^{2}-4^2 =0}\)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

\(\displaystyle{ (2x-9)(2x-1)=0}\)

Co daje nam rozwiązania: \(\displaystyle{ x= \frac{9}{2}}\) i \(\displaystyle{ x= \frac{1}{2}}\), te drugie odrzucamy z powodu dziedziny.