Matematyka.pl

Witam, mamy takie zadanie:
Sprawdzić czy wyrażenie \(\displaystyle{ \sqrt{4+ \sqrt{7} } - \sqrt{4- \sqrt{7} } - \sqrt{2}}\) jest liczbą wymierną. Pomożecie?
Pozdro

Ta liczba to zero, więc jest wymierna.
Żeby to zobaczyć podnieśmy do kwdratu liczbę:

\(\displaystyle{ \sqrt{4+ \sqrt{7} } - \sqrt{4- \sqrt{7} }}\)

Mamy:

\(\displaystyle{ \left(\sqrt{4+ \sqrt{7} } - \sqrt{4- \sqrt{7} }\right)^2=4+\sqrt 7+4-\sqrt 7-2\sqrt{(4+\sqrt 7)(4-\sqrt 7)}=}\)

\(\displaystyle{ =8-2\sqrt{16-7}=8-2\sqrt 9=8-6=2}\).

Liczba ta jest dodatnia, jej kwadrat to \(\displaystyle{ 2}\), czyli owa liczba to \(\displaystyle{ \sqrt 2}\) i wobec tego dane wyrażenie jest równe zero.