Matematyka.pl

\(\displaystyle{ a_{i} \ge >=0

a_{1} \cdot a_{2} \cdot ... \cdot a_{n}=1}\)

udowodnij że

\(\displaystyle{ a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}\ge n}\)

Kojarzy ktoś jak się to nazywa i udowadnia?

--EDIT--

Zmieniłem troche treść zadania (drugie równanie jest większe od n i dodałem warunki). Nie znamy żadnych nierówności średnich. Ktoś ma jakiś pomysł

Ja proponował bym indukcyjnie

Indukcyjnie to wiem. Tylko jak?

A może jakieś dodatkowe założenie, np. \(\displaystyle{ a_n>0}\) ? Jak tak, to można z nierówności między średnimi.

Lorek pisze:można z nierówności między średnimi.

Raczej nie, bo rzeczony fakt to lemat (zwany Lematem Erdosa) służący do eleganckiego dowodu nierówności między średnimi.

Q.

Hm fakt, choć raczej przy postaci występującej tutaj: 144688.htm . A przy tym co jest w treści zadania wystarczy pokazać, że choć jeden czynnik jest większy od 1.