Pozwiązać operatorowo

[PFKjatoja]

Witam, mam zadanie, żeby rozwiązać metodą operatorową równanie:
\(\displaystyle{ z''+2z'+z=0}\) przy warunkach początkowych \(\displaystyle{ z(0^+)=0}\), \(\displaystyle{ z'(0^+)=1}\)
Rozumiem, że:
\(\displaystyle{ L[z'']+2L[z']+L[z]=L[0]}\)
\(\displaystyle{ s^2 \cdot Z(s)-s \cdot 0- 1+s \cdot Z(s) + \frac{2}{s^2}=0}\)
\(\displaystyle{ Z(s)=\frac{1-\frac{2}{s^2}}{s^2+s}}\)
I jak teraz obliczyć \(\displaystyle{ L^{-1}[Z(s)]}\)??
Jak uporządkować te prawą stronę, żeby odczytać z tabeli funkcję \(\displaystyle{ z(t)}\) ?? I czy w ogóle nic nie popsułem po drodze...
Proszę o pomoc

[octahedron]

To w sumie jak to jest:
\(\displaystyle{ z'(0^+)=0}\) czy \(\displaystyle{ z'(0^+)=1}\) ?

Bo w obliczeniach jest inaczej niż w danych.

[PFKjatoja]

aj przepraszam, pomyliłem się, i już poprawiłem tam jest \(\displaystyle{ z'(0^+)=1}\)

Jeśli: \(\displaystyle{ Z(s)=\frac{1-\frac{2}{s^2}}{s^2+s}=\frac{1}{s^2(s+1)}-\frac{2}{s^3(s+1)}}\)
wtedy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{s^2(s+1)}=\frac{A}{s^2}+\frac{B}{s}+\frac{C}{s+1}}\)
\(\displaystyle{ 1=As+A+Bs^2+Bs+Cs^2}\)
\(\displaystyle{ A=1, B=-1, C=1}\)
Więc:\(\displaystyle{ \frac{1}{s^2(s+1)}=\frac{1}{s^2}-\frac{1}{s}+\frac{1}{s+1}}\) ???
To jest dobrze ?

Wtedy: \(\displaystyle{ Z(s)=\frac{1}{s^2(s+1)}-\frac{2}{s^3(s+1)}=\frac{1}{s^2}-\frac{1}{s}+\frac{1}{s+1}-\frac{2}{s^3}+\frac{2}{s^2}-\frac{2}{s}+\frac{2}{s+1}}\)
A \(\displaystyle{ L^{-1}[Z(s)]=z(t)=t-1+e^{-t}-t^2+2t-2+2e^{-t}=3t-3+3e^{-t}-t^2}\)
Proszę niech ktoś mi to skontroluje

[octahedron]

\(\displaystyle{ z''+2z'+z=0\\
\mathcal{L}\{z''\}+\mathcal{L}\{z'\}+\mathcal{L}\{z\}=0\\
s^2Z(s)-sz(0)-z'(0)+2sZ(s)-2z(0)+Z(s)=0\\
s^2Z(s)-1+2sZ(s)+Z(s)=0\\
Z(s)=\frac{1}{s^2+2s+1}=\frac{1}{(s+1)^2} \\
z=te^{-t}}\)

A sprawdzić czy jest dobrze można bardzo prosto - wystarczy podstawić do równania

[PFKjatoja]

... ... ... czyli zepsułem na samym początku bo zamiast \(\displaystyle{ L[z]=Z(s)}\) zrobiłem \(\displaystyle{ L[z]=\frac{1}{s^2}}\) . Mistrzostwo, po prostu mistrzostwo...

Dzięki octahedron...