Parzystość permutacji

[CiasteczkowyVampir]

W tym zadaniu rozważamy grupy permutacji \(\displaystyle{ S_{13}}\). Niech
\(\displaystyle{ f = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)(8, 9, 10, 11, 12)}\)
(a) Czy \(\displaystyle{ f}\) jest parzysta?
(b) Jaki jest rząd \(\displaystyle{ f}\)?
(c) Czy dla dowolnej permutacji \(\displaystyle{ h}\) istnieje taka permutacja \(\displaystyle{ g}\), że \(\displaystyle{ g^2 = h}\)?
(d) Znajdź wszystkie permutacje \(\displaystyle{ g}\) spełniające równanie \(\displaystyle{ g^2 = f}\).

Mam pytanie czy dobrze się zabieram za to zadanie.

a) permutacja jest parzysta jeśli w jej dowolnym rozkładzie na transpozycje występuje parzysta liczba transpozycji, nie do końca wiem jak powinienem to zrobić. Czy mogę rozłożyć cykle na takie transpozycje:

\(\displaystyle{ (1,2,3,4,5,6,7) = (1,7)(1,6)(1,5)(1,4)(1,3)(1,2) \\
(8,9,10,11,12) = (8,12)(8,11)(8,10)(8,9)}\) ?

b) rzędem permutacji jest najmniejsza wspólna wielokrotność rzędów cykli więc wydaje mi się że to będzie po prostu \(\displaystyle{ \text{NWW}(7,5) = 35}\).

za resztę nie wiem jak się zabrać

[q a]

d) Jest proste. Bierzesz sobie to g z niewiadomymi podnosisz i przyrównujesz do f.
c) Tu raczej jakiś dowód. To nie jest zadanie na kontrprzykład.