Matematyka.pl

Witam,
mam pytanie czy dobrze myślę, tzn mam poniższy układ równań i jak dla mnie jest sprzeczny, chyba że źle liczę
\(\displaystyle{ \begin{cases} x-y-yi=-2 \\ -x+y+xi=1 \end{cases}}\)
Jeśli dobrze rozumuję to rozbijamy to na 4 równania:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x-y=-2 \\ -x+y=1 \end{cases} \\
\begin{cases} -y=0 \\ x=0 \end{cases}}\)
No i tutaj oczywiście widać że mamy sprzeczne układy

zgadza się. Jest sprzeczny jeśli \(\displaystyle{ x,y}\) są rzeczywiste. Jeśli nie to niekoniecznie

Ok, to mam jeszcze jedno pytanie, a jak obliczyć coś takiego
\(\displaystyle{ z^{2}+7 \vec{z} =0}\)

\(\displaystyle{ \vec{z}}\) to oczywiście nie wektor tylko liczba sprzężona.
Ja to rozbiłem na coś takiego:
\(\displaystyle{ \left( a+ib \right) ^{2}+7 \left( a-ib \right) =0 \\
a^{2}+2iab-b^{2}+7a-7ib=0}\)
I nie wiem co dalej, macie może jakąś dobrą lekturę związana z układami równań i równaniami z liczbami zespolonymi, bo nie mam pojęcia jak je rozwiązywać :/

Dalej przyrównujesz części rzeczywiste i urojone

No ok tak też myślałem czyli:
\(\displaystyle{ a^{2}-b^{2}+7a=0 \\
2ab-7b=0}\)
I tu mam pierwsze pytanie rozumiem że jak przyrównuje częśc urojoną to z równania wyrzucam 'i'? Od razu drugie pytanie czy a z równania 'rzeczywistego' to to samo a co z 'urojonego'? tzn czy mogę to wziąć teraz jako układ równań?
Jeśli nie to rozumiem że w części urojonej b=0, a = 7/2?
A w części rzeczywistej ?

to z równania wyrzucam 'i'?

Po przyrównaniu \(\displaystyle{ i}\) magicznie znika.

Od razu drugie pytanie czy a z równania 'rzeczywistego' to to samo a co z 'urojonego'?

Tak

tzn czy mogę to wziąć teraz jako układ równań?

Si

Teraz układ równan masz rozwiązac

Ok, to już dużo wyjaśnia, tylko jeśli moje wyniki są dobre czyli z 2 równania a=7/2, b=0, to wychodzi mi układ sprzeczny:
\(\displaystyle{ \frac{49}{4} -\frac{49}{2} = 0}\)

Bo? Iloczyn dwóch liczb jest równy zero gdy przynajmniej jedna liczba jest równa zero. Więc masz dwa przypadki bejbe.

O tym nie pomyślałem, czyli \(\displaystyle{ a=0 \text{ i }b=0}\) To jeszcze tylko dla sprawdzenie jedno zadanie, które myślę że udało mi się dobrze rozwiązać.
\(\displaystyle{ \frac{z+1}{z-1}=-1 \\
\frac{a+ib+1}{a+ib-1} =-1 / \cdot \left( a+ib-1 \right) \\
a+ib+1=-a-ib+1 \\
2a+2ib=0 \\
\begin{cases} 2a=0 \\ 2b=0 \end{cases} \\
a=0,\ \ b=0}\)

Długie sposoby waść obierasz na rozwiązania, ktore bardzo mogą zawieść przy wysokich potęgach z, choćby już przy wykładniku równym 3. Polecam postać wykładniczą w zadaniu ze sprzężeniem (liczy się bajecznie, ale trzeba pamiętać o uwzględnieniu okresowości). W ostatnim zadaniu nie ma potrzeby używać jawnej postaci liczby z z wyodrębnieniem Rez oraz Imz. Odsyłam do moich rozwiązań w temacie:

264385.htm