równanie różniczkowe - Cauchy'ego sprawdzenie
: 16 wrz 2011, o 19:18
Proszę o sprawdzenie rozwiązania -
Rozwiązać zagadnienia Cauchy'ego :
\(\displaystyle{ y^{'}=x^{2}y^{2},y(1)=-3}\)
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx} =x^{2}y^{2}\\ \frac{dy}{y^{2}} =x^{2}dx \\ \int \frac{dy}{y^{2}}= \int x^{2}dx \\ -\frac{1}{y}= \frac{1}{3} x^{3} +C \\ -1=\left( \frac{1}{3}x^{3}+C \right)y \\y= -\frac{1}{ \frac{1}{3}x^{3}+C }}\)
Teraz rozwiązanie szczególne :
\(\displaystyle{ y= -\left( \frac{1}{3}x^{3}+C }\right)^{-1}\\
-3=-\left( \frac{1}{3}+C \right) ^{-1} \\
-3= -\frac{1}{ \frac{1}{3}+C } \\
-3\left( \frac{1}{3}+C \right) =-1\\
-1-3C=-1 \\
-3C=0 \\
C=0\\ \\
Y_{sz} = \left( \frac{1}{3}x^{3} \right)^{-1}}\)
Z góry dzięki za pomoc !
Rozwiązać zagadnienia Cauchy'ego :
\(\displaystyle{ y^{'}=x^{2}y^{2},y(1)=-3}\)
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx} =x^{2}y^{2}\\ \frac{dy}{y^{2}} =x^{2}dx \\ \int \frac{dy}{y^{2}}= \int x^{2}dx \\ -\frac{1}{y}= \frac{1}{3} x^{3} +C \\ -1=\left( \frac{1}{3}x^{3}+C \right)y \\y= -\frac{1}{ \frac{1}{3}x^{3}+C }}\)
Teraz rozwiązanie szczególne :
\(\displaystyle{ y= -\left( \frac{1}{3}x^{3}+C }\right)^{-1}\\
-3=-\left( \frac{1}{3}+C \right) ^{-1} \\
-3= -\frac{1}{ \frac{1}{3}+C } \\
-3\left( \frac{1}{3}+C \right) =-1\\
-1-3C=-1 \\
-3C=0 \\
C=0\\ \\
Y_{sz} = \left( \frac{1}{3}x^{3} \right)^{-1}}\)
Z góry dzięki za pomoc !