Strona 1 z 1
Obliczanie liczby urojonej typu 'część urojona do potęgi'
: 16 wrz 2011, o 10:18
autor: assasino
Mam takie zadanie:
Oblicz \(\displaystyle{ \Im \left( 1+\cos \frac{2 \pi }{3} +i \cdot \sin \frac{2 \pi }{3} \right) ^{27}}\)
Jak to obliczyć?
Obliczanie liczby urojonej typu 'część urojona do potęgi'
: 16 wrz 2011, o 10:26
autor: Afish
Przedstawić liczbę w postaci trygonometrycznej i skorzystać ze wzoru de Moivre'a.
Obliczanie liczby urojonej typu 'część urojona do potęgi'
: 16 wrz 2011, o 11:49
autor: assasino
Czyli rozwiązanie będzie wyglądało następująco:
\(\displaystyle{ im(1 + cos \frac{2 \pi }{3} + i \cdot sin \frac{2 \pi }{3}) ^{27}}\)
\(\displaystyle{ a= 1+cos \frac{2 \pi }{3} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ b = sin \frac{2 \pi }{3} = \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ r = \sqrt{ \left( \frac{1}{2} \right) ^{2} + \left( \frac{ \sqrt{3}}{2} \right) ^{2} } = 1}\)
\(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = \frac{ \pi }{3}}\)
Więc postać trygonometryczna wygląda następująco:
\(\displaystyle{ (1 \cdot ( cos \frac{ \pi }{3} +i \cdot sin \frac{ \pi }{3} ) ) ^{27} = 1 ^{27} ( cos \frac{27 \cdot \pi }{3} +i \cdot sin \frac{27 \cdot \pi }{3} )=-1+0 \cdot i=-1}\)
Czy wynik jest poprawny? Czy dobrze to rozumiem?
Obliczanie liczby urojonej typu 'część urojona do potęgi'
: 16 wrz 2011, o 12:54
autor: Afish
No prawie dobrze. Wziąłeś część rzeczywistą, a miałeś urojoną
Poza tym jest okej.
Obliczanie liczby urojonej typu 'część urojona do potęgi'
: 16 wrz 2011, o 13:26
autor: assasino
aha czyli gdyby przed tym nawiasem stało Re to by było to dobrze, a jest Im więc mam z tego wyciągnąć urojoną.
Hmm więc jak to powinno być by było idealnie ?
Obliczanie liczby urojonej typu 'część urojona do potęgi'
: 16 wrz 2011, o 13:44
autor: Afish
Część urojona to ta liczba, która stoi przy jednostce urojonej. To właśnie ta liczba jest wynikiem zadania. Czyli tutaj jest to zero.
Obliczanie liczby urojonej typu 'część urojona do potęgi'
: 16 wrz 2011, o 13:54
autor: assasino
aha no tak, więc już wszystko jasne. Dzięki za pomoc