Matematyka.pl

Mam prosty przykładzik w którym muszę obliczyć ogólny wzór na sumę:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k}\) Z tego powinien wyjść jakiś wzór na sumę ciągu. Tylko nie bardzo wiem jak się za to skończyć. Bo:
\(\displaystyle{ Sn = \sum_{k=1}^{n}k = \sum_{k=1}^{n+1}k - (n+1) = \sum_{k=2}^{n+1} k - n = \sum_{k=1}^{n} (k+1) - n = \sum_{k=1}^{n}k + n - n}\)

\(\displaystyle{ Sn = Sn ???}\)
A to na pewno nie jest ogólny wzór na sumę ciągu.
Co robię źle?

A nie będzie to po prostu wzór na sumę n pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego o różnicy r=1?

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k = 1+2+3+4+...+n \\
Czyli: \ S_{n} = \frac{2+(n-1)}{2}\cdot n}\)

Wskazówka: zaburz sumę \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^nk^2}\)

Przejrzyj też wątek: 258562.htm

Q.

\(\displaystyle{ Sn = \sum_{k=1}^{n} k^{2} = \sum_{k=1}^{n+1}k^{2} - (n+1)^{2} = \sum_{k=2}^{n+1}k^{2} + 1 - (n+1)^{2} = \sum_{k=1}^{n}(k+1)^{2} + 1 - (n+1)^{2} = \sum_{k=1}^{n}(k^{2}+2k+1) + 1 - (n+1)^{2} = \sum_{k=1}^{n}k^{2} + 2\sum_{k=1}^{n}k + n + 1 - (n+1)^{2}}\)


\(\displaystyle{ Sn = Sn + 2\sum_{k=1}^{n}k +n + 1 -(n^{2} +2n + 1)}\)

Sn - Sn = 0
Suma poszukiwana to \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k}\) czyli:

\(\displaystyle{ -2Sn = n + 1 - n^{2} - 2n - 1}\)

\(\displaystyle{ -2Sn = -n^{2} - n /*(- \frac{1}{2})}\)

\(\displaystyle{ Sn = \frac{n^{2} + n}{2}}\)

Trochę źle to oznaczałem chyba ale rozwiązanie wychodzi raczej dobre.
Mógłby ktoś to sprawdzić?

PS. Dzięki za odnośnik do zaburzeń. Jeśli mogę to chciałbym prosić o taki odnośnik do metody repertuaru.

Jest ok.

A co do metody repertuaru, to nic mi nie wiadomo, żeby gdzieś w sieci było jakieś opracowanie. Ja sam (po wiosennej fali korepetycji z Matematyki konkretnej dla studentów UJ) skrobnąłem w lipcu tylko coś o metodzie zaburzania i o rachunku różnicowym.

Q.