równanka 1. i 2. stopien

[papabejker]

\(\displaystyle{ xy^\prime =x\sin x\cdot y\\ \\ y^{\prime\prime}-2y^\prime +y= e^{x}\\ \\ y^\prime + \frac{y}{x} = \frac{1}{ x^{2} }\\ \\ y^{\prime\prime}-5y^\prime +4y= 8e^{x}}\)

prosze o pokazanie jak zrobic z gory bardzo dziekuje

[yorgin]

Pierwsze równanie: podziel przez x i podstaw \(\displaystyle{ u=y/x}\) by dojść do równania o zmiennych rozdzielonych.

Drugie i czwarte: najpierw równanie jednorodne, potem albo uzmiennij stałą, albo metodą przewidywań znajdź rozwiązanie szczególne.


Jeśli nie wiesz, o czym piszę, to bardzo niedobrze.


Trzecie ma błędny zapis.

[papabejker]

właśnie problem w tym że potrzebuję rozwiązania i wytłumaczenia, wtedy dokładnie sobie obejrzę i bede robil analogicznie, bardzo prosze o pomoc

[yorgin]

Zajrzyj tutaj:

https://www.matematyka.pl/261648.htm

Znajdziesz wiele przykładów z rozwiązaniami.

[papabejker]

rozumiem wiem widzialem, ale prosze o pomoc odnosnie tych wlasnie tu widocznych jesli łaska, rozwiazuje przyklady jesli mam do nich odpowiedzi wtedy mi duzo latwiej, prosze tylko o rozwiazanie bo z tymi ma duzy problem

[yorgin]

Pierwsze równanie jest problematyczne:

\(\displaystyle{ y'=\sin x \frac{y}{x}\\
u=\frac{y}{x}\Longrightarrow y=ux\\
y'=u'x+u\\
u'x+u=u\sin x\\
u'=\frac{u(\sin x-1)}{x}}\)

No i dostaję całkę nieelementarną \(\displaystyle{ \int \frac{\sin x dx}{x}}\)



Równanie drugie:

\(\displaystyle{ y''-2y'+y=e^x}\)

Najpierw równanie jednorodnie:

\(\displaystyle{ y''-2y'+y=0}\)

Równanie charakterystyczne:

\(\displaystyle{ \lambda^2-2\lambda +1=0\\
\\
\lambda=1}\)

Jako że mamy dwukrotny pierwiastek, to rozwiązania równania jednorodnego są postaci:

\(\displaystyle{ y(x)=Ae^x+Bxe^x}\)

Teraz np uzmiennianie stałych: (https://www.matematyka.pl/140250.htm)

\(\displaystyle{ \begin{cases}A'e^x+B'xe^x=0\\ A'e^x+B'(e^x+xe^x)=e^x\end{cases}}\)

skąd po elementarnych rachunkach

\(\displaystyle{ \begin{cases} A=-\frac{1}{2}x^2+C \\ B=x+D \end{cases}}\)

Spróbuj zrobić przykład 4, jeśli nie będzie Ci wychodzić, napisz, gdzie masz problem.

[Mariusz M]

yorgin, po co podstawiać w tym pierwszym jak równanie już jest o rozdzielonych zmiennych

\(\displaystyle{ xy^{\prime}=x\sin{x} \cdot y\\
y^{\prime}=y\sin{x}\\
\frac{ \mbox{d}y}{y}=\sin{x} \mbox{d}x \\
\ln{\left| y\right| }=-\cos{x}+C\\
y=Ce^{-\cos{x}}}\)

\(\displaystyle{ y^{\prime}+ \frac{y}{x}= \frac{1}{x^2}\\
y^{\prime}+ \frac{y}{x}=0\\
y^{\prime}=- \frac{y}{x}\\
\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }= - \frac{y}{x}\\
\frac{ \mbox{d}y}{y}=- \frac{ \mbox{d}x }{x}\\
\ln{\left| y\right| }=-\ln{\left| x\right| }+C\\
y=Cx^{-1}\\
y\left( x\right)=C\left( x\right)x^{-1}\\
C^{\prime}\left( x\right)x^{-1}-C\left( x\right)x^{-2}+C\left( x\right)x^{-2}=\frac{1}{x^2}\\
C^{\prime}\left( x\right)x^{-1}= \frac{1}{x^2}\\
C^{\prime}\left( x\right)= \frac{1}{x}\\
C\left( x\right)=\ln{\left| x\right| } +C\\
y= \frac{\ln{\left| x\right| +C}}{x}}\)

\(\displaystyle{ y^{\prime\prime}-5y^{\prime}+4y=8e^{x}\\
\lambda^2-5\lambda+4=0\\
\left( \lambda-1\right)\left( \lambda-4\right)=0\\
y=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{4x}}\)

Ponieważ jedynka jest pojedynczym pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego więc przewidujesz
całkę szczególną postaci

\(\displaystyle{ y=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{4x}+Axe^{x}\\
y_{s}=Axe^{x}\\
y_{s}^{\prime}=Ae^{x}+Axe^{x}=A\left(x+1\right)e^{x}\\
y_{s}^{\prime\prime}=A\left(x+1\right)e^{x}+Ae^{x}=A\left( x+2\right)e^{x}\\
Axe^{x}+2Ae^{x}-5Axe^{x}-5Ae^{x}+4xe^{x}=8e^{x}\\
-3Ae^{x}=8e^{-x}\\
A=- \frac{8}{3}\\
y=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{4x}- \frac{8}{3} xe^{x}\\}\)