Szereg Fouriera

Istnienie i ciągłość funkcji granicznej, jednostajna zbieżność. Zmiana kolejności przejścia granicznego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Istnienie i zbieżność rozwinięć Taylora, Maclaurina, Fouriera itd.
genek2000
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 25 sty 2009, o 18:03
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 3 razy

Szereg Fouriera

Post autor: genek2000 » 10 wrz 2011, o 18:12

Mam funkcję f(x)

\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} -(x+\pi), -\pi\leqslant x<\frac{-\pi}{2} \\ x, \frac{-\pi}{2}\leqslant x\leqslant \frac{\pi}{2} \\ -(x-\pi), \frac{\pi}{2}<x\leqslant \pi \end{cases}}\)

Rozwiązanie wyszło mi zgodnie z odpowiedziami czyli:

\(\displaystyle{ \frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(\frac{n\pi}{2})}{n^{2}}\sin(nx)}\)

Jednak oprócz tego muszę pokazać, że zachodzi równość

\(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}=\frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)^{2}}}\)

Czy ktoś może mnie nakierować jak się za to zabrać? Próbowałem podstawiać kolejne wartości n do tego, ale nijak nie przybliża mnie to do prawej strony równości którą trzeba wykazać.
Dziękuję z góry!

Adifek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1566
Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 398 razy

Szereg Fouriera

Post autor: Adifek » 10 wrz 2011, o 18:25

Podstaw za \(\displaystyle{ x}\) w szeregu taką wartość, aby \(\displaystyle{ f(x)= \frac{\pi}{2}}\)

genek2000
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 25 sty 2009, o 18:03
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 3 razy

Szereg Fouriera

Post autor: genek2000 » 10 wrz 2011, o 18:57

ok, podstawiłem \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\) i rzeczywiście jest to równoznaczne z prawą stroną tego równania, a im więcej wezmę pod uwagę składników tym bardziej zbliża mi się do wartości ~1.57 (czyli połowa pi).

Czy o to chodzi? ;p

Adifek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1566
Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 398 razy

Szereg Fouriera

Post autor: Adifek » 10 wrz 2011, o 19:05

masz

\(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}=f\left \left( \frac{\pi}{2}\right) = \frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin \left( \frac{n\pi}{2} \right) }{n^{2}}\sin \left( n \cdot \frac{\pi}{2} \right) =...}\)

wystarczy doprowadzić szereg to takiej postaci jak chcemy
Ostatnio zmieniony 10 wrz 2011, o 19:33 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

ODPOWIEDZ