Wykazać nierowność (gdzie robię błąd?)

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
rudy20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 74
Rejestracja: 10 wrz 2011, o 16:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Inowrocław
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 1 raz

Wykazać nierowność (gdzie robię błąd?)

Post autor: rudy20 » 10 wrz 2011, o 17:48

Z góry przepraszam za umieszczenie tego w tym dziale, ale przeszukałem całe forum i nigdzie nie ma działu od nierówności, ale wydaje mi się że ten dział jest najbliższy duchem. Jeśli coś przeoczyłem to proszę o przeniesienie tam gdzie trzeba.

Treść zadania: Pokazać, że

\(\displaystyle{ (\sum_{j=1}^{n} a_j)^2+ (\sum_{j=1}^{n} (-1)^j a_j)^2 \leq (n+2) \sum_{j=1}^{n} a_j ^2}\)

Zastosowanie nierownosci Cauchy'ego daje 2n * (suma po prawej) czyli w zasadzie dwa razy za duzo. Czyli trzeba znalezc jakis inny sposob, w moim wypadku jest to "na chama":

Po wymnozeniu lewej strony dostaje:

\(\displaystyle{ 2 \sum_{j=1}^{n} a_j ^2 + \sum_{1\leq i \neq j \leq n } a_i a_j - \sum_{1\leq i \neq j \leq n \mbox{ oraz } i \neq j \mod 2} a_i a_j + \sum_{1\leq i \neq j \leq n \mbox{ oraz } i = j \mod 2} a_i a_j}\)

Po skróceniu zostaje

\(\displaystyle{ 2 \sum_{j=1}^{n} a_j ^2 + 2 \sum_{1\leq i \neq j \leq n \mbox{ oraz } i = j \mod 2} a_i a_j}\)

Czyli chcemy teraz pokazać, że drugi skladnik szacuje sie przez \(\displaystyle{ n\sum a_j ^2}\).

Ponieważ \(\displaystyle{ 2ab \leq a^2 + b^2}\), więc

\(\displaystyle{ \sum_{1\leq i \neq j \leq n \mbox{ oraz } i = j \mod 2} 2 a_i a_j \leq \sum_{1\leq i \neq j \leq n \mbox{ oraz } i = j \mod 2} (a_i ^2 + a_j ^2 )}\)

Niech n bedzie parzyste.

Po rozpisaniu powyzszej sumy, kazdy \(\displaystyle{ a_i ^2}\) , niezaleznie od parzystosci wskaznika i, pojawi się raz w co drugim wierszu (oprócz swojego "własnego") i \(\displaystyle{ \frac{n}{2} -1}\) w swoim "własnym", czyli w sumie \(\displaystyle{ n - 2}\) razy. Zatem dla n parzystego ograniczeniem jest \(\displaystyle{ (n-2)\sum a_j ^2}\). To juz jest podejrzane bo liczylem na n, a otrzymanie zbyt silnego szacowanie raczej wskazuje na blad. Jednak nie moge go znalezc!

Zobaczmy jeszcze na n nieparzyste:

Po rozpisaniu, kazdy \(\displaystyle{ a_i ^2}\) "nieparzysty" (tzn. gdzie i jest nieparzyste) pojawi się w większej części wierszy, czyli \(\displaystyle{ \frac{n+1}{2}}\) raz (oprócz swojego wiec -1 od tego), a w swoim \(\displaystyle{ \frac{n+1}{2} -1}\) razy czyli w sumie \(\displaystyle{ n-1}\) razy. Dla \(\displaystyle{ a_i ^2}\) o parzystych wskaznikach, pojawia sie w \(\displaystyle{ \frac{n-1}{2}}\) wierszach, oprocz swojego, a w swoim \(\displaystyle{ \frac{n-1}{2} -1}\), czyli znow w sumie dwa razy tyle, czyli \(\displaystyle{ n-3}\) . Tak czy siak, gdzies brakuje tego jednego \(\displaystyle{ \sum a_j ^2}\), bo w najlepszym wypadku szacuje sie przez n-1.

To zadanie doprowadza mnie do bialej goraczki, siedze nad tym juz drugi dzien i nie widze gdzie zrobilem blad. Zdaje mi sie ze pewnie w zliczaniu tych wyrazow na koncu, ale nie umiem go znalezc. Prosze o wytkniecie bledu!
Ostatnio zmieniony 10 wrz 2011, o 19:20 przez rudy20, łącznie zmieniany 2 razy.

xiikzodz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lost Hope
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 502 razy

Wykazać nierowność (gdzie robię błąd?)

Post autor: xiikzodz » 10 wrz 2011, o 19:12

Ta nierówność w ogólności nie jest prawdziwa. Na przykład dla:

\(\displaystyle{ n=2, a_1=0,a_2=\frac 13}\)

Lewa strona jest równa

\(\displaystyle{ 0-0+\frac 13+\frac 13=\frac 23}\),

a prawa

\(\displaystyle{ 4\cdot\left(0^2+\left(\frac 13\right)^2\right)=\frac 49}\)

rudy20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 74
Rejestracja: 10 wrz 2011, o 16:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Inowrocław
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 1 raz

Wykazać nierowność (gdzie robię błąd?)

Post autor: rudy20 » 10 wrz 2011, o 19:20

oczywiscie, pomylilem sie w pisaniu, powinny byc kwadraty po lewej. moje rozwiazanie tyczy sie oczywiscie tego
Ostatnio zmieniony 10 wrz 2011, o 19:36 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nie cytuj całości poprzedniego postu.

xiikzodz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lost Hope
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 502 razy

Wykazać nierowność (gdzie robię błąd?)

Post autor: xiikzodz » 10 wrz 2011, o 19:32

Najpierw dla parzystego \(\displaystyle{ n=2k}\):

Dla wszystkich par \(\displaystyle{ i.j}\) tej samej parzystości, \(\displaystyle{ i,j\in\{1,\ldots n\}}\) rozważmy (prawdziwe) nierówności:

\(\displaystyle{ 2a_ia_j\le a_i^2+a_j^2}\).

Zauważmy, że każdy kwadrat po prawie stronie wystąpi dokładnie \(\displaystyle{ k+1=n/2+1}\) razy (w \(\displaystyle{ k}\) nierównościach w tym w jednej dwukrotnie). Jeśli więc dodamy wszystkie te nierówności stronami otrzymamy:

\(\displaystyle{ \sum_{2|(i-j)}}a_ia_j\le (k+1)\cdot\sum_{i=1}^na_i^2}\)

Skąd:

\(\displaystyle{ 2\sum_{2|(i-j)}}a_ia_j-2\sum_{j=1}^na_j^2\le 2(k+1)\cdot\sum_{i=1}^na_i^2-2\sum_{j=1}^na_j^2=2k\cdot\sum_{i=1}^na_i^2=n\sum_{i=1}^na_i^2}\).

Pozostaje zauważyć, że:

\(\displaystyle{ 2\sum_{2|(i-j)}}a_ia_j-2\sum_{j=1}^na_j^2}\)

to lewa strona wyjściowej nierówności.

Jeśli natomiast \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzyste, to dokładamy \(\displaystyle{ a_{n+1}=0}\) i stosujemy oszacowanie dla \(\displaystyle{ n+1}\):

\(\displaystyle{ L\le(n+1)\sum_{i=1}^{n+1}a_i^2=(n+1)\sum_{i=1}^na_i^2}\).

Wyszło więc, że lewa strona w zależności od \(\displaystyle{ n}\) jest ograniczona z góry liczbą:

\(\displaystyle{ n\sum_{i=1}^na_i^2}\)

dla n parzystych oraz liczbą

\(\displaystyle{ (n+1)\sum_{i=1}^na_i^2}\)

dla n nieparzystych.

rudy20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 74
Rejestracja: 10 wrz 2011, o 16:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Inowrocław
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 1 raz

Wykazać nierowność (gdzie robię błąd?)

Post autor: rudy20 » 11 wrz 2011, o 16:13

Czyli nie robie bledu, tylko w zadaniu jest zbyt słabe oszacowanie. Pocieszajace

ODPOWIEDZ