nierówność wymierna

[Oliwia4815]

Uzasadnij, że dla każdej liczby dodatniej \(\displaystyle{ a}\) prawdziwa jest nierówność \(\displaystyle{ a^{3} + \frac{3}{a} \ge 4}\)

Proszę o wskazówki jak rozwiązać to zadanie

[bartek118]

Przemnóż obie strony przez \(\displaystyle{ a}\) i przenieś na jedną stronę

[Oliwia4815]

już tak próbowałam i niestety nie wiem co dalej...

[lukasz1804]

Dalej spróbuj rozłożyć na czynniki otrzymany wielomian zmiennej \(\displaystyle{ a}\) (nie jest to łatwe, lecz tu wskazówka: liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu postaci \(\displaystyle{ x^n-4x^k+3}\) dla dowolnych \(\displaystyle{ k,n\in\mathbb{N}, n>k}\). W razie kłopotów spójrz poniżej.

rozkład:    

\(\displaystyle{ a^4-4a+3=a^4-a-3a+3=a(a^3-1)-3(a-1)=a(a-1)(a^2+a+1)-3(a-1)=(a-1)(a^3+a^2+a-3)=(a-1)(a^3-1+a^2-1+a-1)=(a-1)\left[(a-1)(a^2+a+1)+(a-1)(a+1)+(a-1)\right]=(a-1)^2(a^2+a+1+a+1+1)=(a-1)^2(a^2+2a+3)}\)

[Oliwia4815]

Bardzo dziękuję za pomoc! Łatwo nie było, ale udało mi się dobrnąć do końca